函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用.docx

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1、.函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用一、知识回顾:1、对于给定区间D上的函数f(x),如果_____,则称f(x)是区间D上的增(减)函数.2、判断函数单调性的常用方法:观察图像法、定义法3、关于函数单调性还有以下一些常见结论:①两个增(减)函数的和为_____;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______;②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性;4、函数的奇偶性:(1)对于函数f(x),其定义域关于原点对称:.........

2、如果,那么函数f(x)为奇函数;如果,那么函数f(x)为偶函数.(2)奇函数的图象关于__________对称,偶函数的图象关于_________对称.周期函数的定义:对于函数fx,存在非0常数T,使得对于其定义域内总有fxTfx,则称的常数T为函数的周期。5、函数的周期性①fxafxfx的周期为2a;②如fxa1;fx的周期为2afx③如fx1fx的周期为4a;axf④对于三角函数yAsinxB.yAcosxB,其周期T2;⑤对于yAtanxB.yAcotxB,其周期T⑥若yfx关于直线xa,xb

3、ab对称,则yfx一定为周期函数,2ba为yfx的周期二、例题例1、已知f(x)ax7bx5cx3dx5,其中a,b,c,d为常数,若f(7)7,则f(7)_______(构造奇偶函数)变式1、已知f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=_______变式2、已知f(x)是定义在R上的偶函数,它在[0,)上递减,那么一定有A.C.f(3)f(a2a1)4f(3)f(a2a1)4B.D.f(3)f(a2a1)4f(3)f(a2a1)4..例2、若f(

4、x)=-x2+2ax与g(x)a在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是x1A.(1,0)(0,1)B.(1,0)(0,1]C.(0,1)D.(0,1]变式1、若函数f(x)=axb在[0,+∞]上为增函数,则实数a、b的取值范围是.例3、已知奇函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数,若f(m1)f(2m1)0,求实数m的取值范围变式1、已知f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点,则不等式

5、f(x1)

6、1的解集为________例、已知函数f(x)x22ax24

7、(1)若方程f(x)0有两不相等的根,求a的取值范围;(2)若函数f(x)满足f(2)f(0),求函数在x[5,5]的最大值和最小值;(3)若a为任何实数,讨论f(x)在x[5,5]的最小值.(条件f(2)f(0)改为f(1x)f(1x)有什么区别)变式1、已知函数yx22x3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是A、[1,+∞)B、[0,2]C、(-∞,2]D、[1,2]变式、已知二次函数f(x)ax2bx(a0)满足条件:f(5x)f(x3)2且方程f(x)x有等根,⑴求f(x

8、)的解析式;⑵是否存在实数m,n(mn),使得f(x)的定义域为[m,n],值域为[3m,3n]。例5、已知函数f(x),x∈F,那么集合{(x,y)

9、y=f(x),x∈F}∩{(x,y)

10、x=1}中所含元素的个数是.()A.0B.1C.0或1D.1或2分析:这个问题是求函数y=f(x),x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化),这里给出了函数y=f(x)的定义域是F,但未明确给出1与F的关系,当1∈F时有1个交点,当1F时没有交点,所以选C...例6、(一次函数f(x)=kx+h

11、(k≠0),若m<n有f(m)>0,f(n)>0,则对于任意x∈(m,n)都有f(x)>0,试证明之;证明:当k>0时,函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数,m<x<n,f(x)>f(m)>0;当k<0时,函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数,m<x<n,f(x)>f(n)>0.所以对于任意x∈(m,n)都有f(x)>0成立.。例7.设f(x)定义在(0,+)上的单调增函数,满足f(xy)f(x)+f(y),f(3)1。求:(1)f(1);(2)若f(x)+f(x8)2,求x的取值范围。例8

12、、(2006年山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为(B)(A)-1(B)0(C)1(D)2【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性,基础题。解析:由fx2fxfx4fx2fx由fx是定义在R上的奇函数得f00,∴f6f42f2f00,故选择B。【窥管之见】本题用到两重要性质:①fxafxfx的周期为2a;②如fx是定义在R上的奇函数,则f00。例9、设f(x)是定义在R上的奇函数,且yfx的图象关于直线x1对称,则f(

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