函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用.doc

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1、函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用一、知识回顾：1、对于给定区间D上的函数，如果_____，则称是区间D上的增（减）函数.2、判断函数单调性的常用方法：观察图像法、定义法3、关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；4、函数的奇偶性：（1）对于函数，其定义域关于原点对称：如果______________________________________，那么函数为奇

2、函数；如果______________________________________，那么函数为偶函数.（2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称.周期函数的定义：对于函数，存在非0常数T，使得对于其定义域内总有，则称的常数T为函数的周期。5、函数的周期性①的周期为；②如的周期为；③如的周期为；④对于三角函数，其周期；⑤对于，其周期⑥若关于直线对称，则一定为周期函数，为的周期二、例题例1、已知，其中为常数，若，则_______（构造奇偶函数）变式1、已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(-2)+f(-

3、1)+f(0)+f(1)+f(2)=_______变式2、已知f(x)是定义在R上的偶函数，它在上递减，那么一定有A．B．C．D．-5-例2、若f(x)=-x2+2ax与在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是A．B．C．（0，1）D．变式1、若函数f(x)=a在[0,+∞]上为增函数,则实数a、b的取值范围是.例3、已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围变式1、已知是R上的增函数，A（0，－1），B（3,1）是其图象上的两点，则不等式的解集为________例4、已知函数（１）若方程有两不相等的根，求的取值范围；（２）若函数满足

4、，求函数在的最大值和最小值；（3）若a为任何实数，讨论在的最小值．（条件改为有什么区别）变式1、已知函数在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是A、[1，+∞）B、[0，2]C、（-∞，2]D、[1，2]变式2、已知二次函数满足条件：且方程有等根，⑴求的解析式；⑵是否存在实数，使得的定义域为，值域为。例5、已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)

5、y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)

6、x=1｝中所含元素的个数是．（　　　）A．0B．1C．0或1D．1或2分析：这个问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这

7、是一次数到形的转化)，这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1F时没有交点，所以选C．例6、(一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，试证明之；-5-证明：当k＞0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；当k＜0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．所以对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．。例7.设定义在上的单调增函数，满足，。

8、求：（1）(2)若求的取值范围。例8、（2006年山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为(B)(A)－1(B)0(C)1(D)2【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。解析：由由是定义在R上的奇函数得，∴，故选择B。【窥管之见】本题用到两重要性质：①的周期为；②如是定义在R上的奇函数，则。例9、设f(x)是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_0_______________.【考点分析】本题考查函数的周期性解析：得，假设因为点（，0

9、）和点（）关于对称，所以因此，对一切正整数都有：从而：。本题答案填写：0例10、（2006福建卷）已知是周期为2的奇函数，当时，设则（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，，<0，∴，选D.例11、（2006年安徽卷理）函数对于任意实数满足条件，若则__________。【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。解析：由得，所以，则-5-。【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解“只要加2，则变倒数，加两次则回原位”则一通尽通也。例12、设是

10、上的奇函数，，当0≤x≤1时，，则f（7.5）等于（）A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5解析：由，又是奇函数，故