函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

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1、函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性一、函数的单调性1.单调性的定义一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量值、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数，区间我们称为函数的单调增区间；如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量值、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数，区间我们称为函数的单调减区间。2.单调函数与严格单调函数设为定义在上的函数，若对任何，当时，总有(ⅰ)，则称为上的增函数，特别当且仅当严格不等式成立时称为上的严格单调递增函数。(ⅱ)，则称为上的减函数，特别当且仅当严格不等式成立时称为上的严格单调递减函数。2.函数单调的充要条件

2、★若为区间上的单调递增函数，、为区间内两任意值，那么有：或★若为区间上的单调递减函数，、为区间内两任意值，那么有：或3.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法)(2)作商法4.复合函数的单调性的判定对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性。5.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且：(1)当和具有相同的增减性时，函数、的增减性与(或)相同，、的增减性不能确定；(2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：①、的增减性不能确定；②、为增函数，为减

3、函数。6.奇偶函数的单调性奇函数在定义域内严格单调，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。二、函数的奇偶性1.奇偶性的定义如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为偶函数；如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为奇函数。2.奇偶性的几何意义具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。3.函数奇偶性的判断(证明)(1)比较与的关系；(2)（）与的关系；(2)与的关系4.由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断对于两个具有奇偶性的函数和，若它们的定义域分别为和，且：(1)当和具有相同的奇偶性时，假设为奇

4、函数，那么：①函数、也为奇函数；②、为偶函数；(2)当和具有相异的奇偶性时，那么：①、的奇偶性不能确定；②、、为奇函数。二、函数的对称性1.函数自对称（1）关于轴对称的函数（偶函数）的充要条件是（2）关于原点对称的函数（奇函数）的充要条件是（3）关于直线对称的函数的充要条件是2.两个函数的图象对称性（1）与关于轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（2）与关于轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（3）与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（4）与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（5）关于点对称。换种说法：与若满足，即它们关于点对称。（

5、6）与关于直线对称。（7）与关于直线对称。二、函数的周期性1.周期性的定义对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数是函数的周期，那么、（）也是函数的周期。2.函数的周期性的主要结论：结论1：如果（），那么是周期函数，其中一个周期结论2：如果（），那么是周期函数，其中一个周期结论3：如果定义在上的函数有两条对称轴、对称，那么是周期函数，其中一个周期结论4：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个

6、周期结论5：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论6：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论7：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论8：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期结论9：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论10：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论11：如果，那么是周期函数，其中一个周期