专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性.doc

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1、专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性一、函数的单调性1．单调函数与严格单调函数设为定义在上的函数，若对任何，当时，总有(ⅰ)，则称为上的增函数，特别当且仅当严格不等式成立时称为上的严格单调递增函数。(ⅱ)，则称为上的减函数，特别当且仅当严格不等式成立时称为上的严格单调递减函数。2．函数单调的充要条件★若为区间上的单调递增函数，、为区间内两任意值，那么有：或★若为区间上的单调递减函数，、为区间内两任意值，那么有：或3．函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法)(2)作商法4复合函数的单调性的判定对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当时，且函数在

2、区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性。5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且：(1)当和具有相同的增减性时，函数、的增减性与(或)相同，、的增减性不能确定；(2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：①、的增减性不能确定；②、为增函数，为减函数。二、函数的奇偶性1.奇偶性的定义如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为偶函数；如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为奇函数。2.奇偶性的几何意义具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点

3、对称，偶函数的图像关于轴对称。3.函数奇偶性的判断(证明)(1)比较与的关系；(2)（）与的关系；(3)与的关系4.由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断对于两个具有奇偶性的函数和，若它们的定义域分别为和，且：(1)当和具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：①函数、也为奇函数；②、为偶函数；(2)当和具有相异的奇偶性时，那么：①、的奇偶性不能确定；②、、为奇函数。若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.三、函数的对称性1.函数自对称（1）关于轴对称的函数（偶函数）的充要条件是（2）关于原点对称的函数（奇函数）的充要条件是（3）关于直线对

4、称的函数的充要条件是2.两个函数的图象对称性（1）与关于轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（2）与关于轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（3）与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（4）与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（5）关于点对称。换种说法：与若满足，即它们关于点对称。（6）与关于直线对称。（7）与关于直线对称。若,则函数的图象关于点对称;3.几个常见的函数方程（1）正比例函数,.（2）指数函数,.（3）对数函数,.（4）幂函数,.（5）余弦函数,正弦函数，，.四、函数的周期性主要结论1．如果函数

5、对于一切x∈R,都有(),那么函数y=f(x)的图像关于直线对称是偶函数2．如果函数对于一切x∈R,都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数的图像关于直线x=（由x=确定）对称3.如果函数对于一切x∈R,都有成立,那么函数的图像关于点对称4.两个函数图像之间的对称性（1）函数与函数的图像关于直线(即y轴)对称；函数与函数的图像关于直线;函数与函数图像关于坐标原点对称。（2）函数,的图像关于直线(由确定)对称（3）函数与函数的图像关于直线对称（由确定（4）函数与函数的图像关于点中心对称5.左加右减（对一个x而言），上加下减（对解析式而言）：若将函数的图

6、像右移a、上移b个单位，得到函数的图像；若将曲线的图像右移a、上移b个单位，得到曲线的图像6.函数的图像是把的图像沿x轴向左平移a个单位得到的；函数的图像是把的图像沿x轴向右平移个单位得到的；函数的图像是把的图像沿x轴向左平移个单位得到的7.定义：对于函数，如果存在一个非零常数T。使得当x取定义域内的每一个值时，都有，则的最小正周期为T，T为这个函数的一个周期8.如果函数是R上的奇函数，且最小正周期为T，那么9.如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期，如果函数的最小正周期为T则函数的最小正周期为，如果是周期函数，那么的

7、定义域无界10.关于函数的周期性的几个重要性质：（1）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么（2）函数图像关于轴对称（3）函数图像关于中心对称（4）函数图像关于轴对称，关于中心对称（5）或或或,则的周期T=2a（6），则的周期T=3a（7）则的周期T=4a；（8）,则的周期T=5a；（9），则的周期T=6a