专题复习函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）

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1、专题复习：函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。1.奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.（1）若定义域关于原点对称（2

2、）若定义域不关于原点对称非奇非偶例如：在上不是奇函数常用性质：1．是既奇又偶函数；2．奇函数若在处有定义，则必有；3．偶函数满足；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；5．除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=非奇非偶www.k@s@5@u.com（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数6．任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。2.单调性[来源:Zxxk.Com]定义：函数定义域为A，区间，若对任意且①总有则称在区间M上单调递增

3、②总有则称在区间M上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学)注：常用结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减www.k@s@5@u.com 3.周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T叫做周期，kT（T的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数

4、，就把这个最小正数叫最小正周期。注：常用结论（1）若，则是周期函数，是它的一个周期（自己证明）（2）若定义在R上的函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2

5、a－b

6、是其一个周期。（自己证明）（推论）若定义在R上的偶函数的图象关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期 （3）若；；；则是周期函数，2是它的一个周期4．对称性一、函数自身的对称性定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a－x)=2b证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x

7、)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。故点P（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P关于点A(a,b)对称，充分性得证。推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是

8、f(x)+f(－x)=0定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)定理3函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)或f(x)=f(2a－x) 定理4.若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2

9、a－b

10、是其一个周期。www.k@s@5@u.com二．不同函数对称性定理5.函数y=f(a

11、+x)与y=f(b－x)的图像关于直线x=(b-a)/2成轴对称定理6.互为反函数的两个函数关于直线y=x对称【典型例题】[例1]判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）（3）（4）（5）解：（1）且∴奇函数（2），关于原点对称∴奇函数   （3），关于原点对称    ∴既奇又偶（4）考虑特殊情况验证：  ；     无意义  ； ∴非奇非偶（5）且，关于原点对称 ∴为偶函数[例2]（1），为何值时，为奇函数；（2）为何值时，为偶函数。答案：（1）（恒等定理）∴时，奇函数[来源：高考%资源网KS%5U]（2）  ∴   （恒等定理）∴∴ 

12、  巩固：已知定义域为的函数是奇函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；解析：（Ⅰ）简解：取特殊值法因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）=-f（-1）知（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，易知在上为减函