常系数线性微分方程的解法ppt课件.ppt

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1、齐次线性微分方程非齐次线性微分方程问题：讨论（4.1）-（4.2）的通解？于是有下面两个重要定理回忆4.2常系数线性微分方程的解法其中为任意常数，而且这个通解（4.14）包括了方程（4.1）的所有解。定理7设为方程（4.2）的基本解组，而是方程（4.1）的某一个解，则方程（4.1）的通解可表为定理6如果是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为：（4.11）其中是任意常数。且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。齐次线性微分方程通解结构定理非齐次线性微分方程通解结构定理4.2常系数线性微分方程的解法因此，关于线性微分方程的通解结构问题，从理论上说，已经解决了，

2、但是，求方程通解的方法还没有具体给出。事实上，对于一般的线性微分方程是没有普遍解法的。但通过寻求一些特殊类型方程的解法对求解一般方程的解还是有帮助和启发的。所以，介绍求解问题能够彻底解决的一类方程——常系数线性微分方程及可以化为这一类型的方程；同时将看到，为了求得常系数齐次线性微分方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。对于某些特殊的非齐线性微分方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通解。以及注意到物理问题提供微分方程很直观的物理背景，而微分方程为更深刻地理解物理现象提供有力的工具。4.2常系数线性微分方程的解法具体内容复值函数与复值解常系数齐次线性微分方程和欧拉方程非齐次线性

3、微分方程的解法：比较系数法和拉普拉斯变换法应用分析：质点振动4.2.1引子:复值函数和复值解1、复数及其相等的定义；2、有关定义：复值函数的连续、可导性等。1、复值函数在点连续的定义如果，就称在连续。如果对于区间中的每一实数t，有复数与它对应，其中和是在区间上定义的实函数，i是虚单位，就说在区间上给定了一个复值函数。如果实函数，,当t趋于时有极限，就称复值函数当t趋于时有极限，并且定义复值函数在区间上连续的定义：即表示在区间上每一点都连续。注：复值函数在点连续意为着对应的两个实函数也在该点连续。2、复值函数在点有导数的定义如果极限存在，就称z(t)在点有导数（可微）,且记此极限为或者。显然

4、在处有导数相当于,在处有导数，且3、复值函数的微分运算性质注意：同实值函数的微分运算法则一样。线性性乘积性4、复指数函数的运算性质设是任意一复数，这里是实数，而为实变量。基本性质重要性质5、复值解的定义定义于区间上的实变量复值函数称为方程（4.1）的复值解。如果对于恒成立。6、两个重要定理定理8如果方程（4.2）中所有系数都是实值函数，而是方程（4.2）的复值解，则的实部、虚部和共轭复值函数也是方程（4.2）的解.定理9若方程有复值解，这里及都是实函数，那么这个解的实部和虚部分别是虚部对应方程和实部对应方程的解.问题：常系数线性微分方程的求解常系数齐线性微分方程的求解-如果？常数变易法(至

5、少)比较系数法Laplace变换法有无其它方法？？?欧拉指数法4.2.2常系数齐线性方程和欧拉方程常系数齐线性方程欧拉（Euler）待定指数函数法特征根是单根的情形有复根的情形特征根是重根的情形应用欧拉方程1、框架2、常系数齐线性微分方程其中是常数。此时，称（4.19）为n阶常系数齐线性微分方程。若齐线性微分方程（4.2）的所有系数都是常数，即原方程可以写为如下形式：3、欧拉（Euler）待定指数函数法一阶微分方程有指数形式的解：.对于n阶齐线性方程（4.19）是否也有类似形式的解？下面用试探法进行讨论。提问引言：一阶齐次线性微分方程解的启示假如有下面形式（4.20）是方程（4.19）的解

6、于是有：要（4.20）是方程（4.2）的解的充要条件为：称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根称为特征根。求解常系数线性微分方程问题转化为求解一个代数方程问题于是有设是特征方程（4.17）的n个彼此不相等的根，则相应地方程（4.16）有如下n个解：可以证明这n个解在区间上线性无关（？），从而组成方程（4.19）的基本解组。于是有如果均为实数，则(4.22)是方程(4.19)的n个线性无关的实值解，而方程(4.19)的通解可表示为其中为任意常数。3.1特征根是单实根的情形例1求方程的通解。解：(单实根)特征方程为：特征根：通解：对应的基本解组：3.2特征根是单虚根的情形设有单复根

7、，此时，由定理8，可以求得两个实值解：为什么？例2求方程的通解解：(复单根)特征方程为：特征根通解对应的基本解组3.3特征根是重根的情形设特征方程有k重根，由代数学基本知识有：下面分三步来讨论基本解组的构成：先讨论，此时，有线性无关的函数组：讨论把这种情况通过变换化为第一种情况。再构成线性无关的函数组：特征根的重数分别为：则有线性无关的函数组：对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。譬如假设是k重特征