Chapter4.2常系数线性微分方程的解法.ppt

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1、第四章高阶微分方程第2节常系数线性微分方程的解法7/30/20211第四章第2节常系数线性微分方程的解法4.2.1复值函数与复值解复值函数如果对于区间atb中的每一实数t,有复数z(t)=(t)+i(t)与它对应,其中(t)与(t)是定义于区间atb上的实函数,则称区间atb上给定了一个复值函数z(t).如果实函数(t)与(t)当t趋于t0时有极限,就称复值函数z(t)当tt0时有极限,并且定义7/30/20212第四章第2节常系数线性微分方程的解法复函数的连续性与可微性若则称复函数z(t)在

2、t0连续(等价于(t)与(t)在t0连续).7/30/20213第四章第2节常系数线性微分方程的解法若极限存在,则称z(t)在t0有导数(可微),并记为z(t0)或z(t)在t0有导数等价于(t)与(t)在t0有导数,且有7/30/20214第四章第2节常系数线性微分方程的解法设z1(t),z2(t)是定义在atb上的可微函数,c是复值常数,有以下等式:7/30/20215第四章第2节常系数线性微分方程的解法复函数的指数形式设K=+i是任一复数,,是实数,t是实变量,定义eKt=e(+i)t=

3、et(cost+isint)设K=i是K=+i的共轭复数,则有7/30/20216第四章第2节常系数线性微分方程的解法函数eKt的其它性质:结论实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式完全类似,而复指数函数具有与实指数完全类似的性质.7/30/20217第四章第2节常系数线性微分方程的解法线性微分方程复值解的定义定义于区间atb上的实变量复值函数x=z(t)称为方程(4.1)的复值解,如果对于atb恒成立.7/30/20218第四章第2节常系数线性微分方程的解法定理8如果方程(4

4、.2)中所有系数ai(t)(i=1,2,…,n)都是实值函数,而x=z(t)=(t)+i(t)是方程的复值解,则z(t)的实部(t),虚部(t)和共轭复值函数也都是方程(4.2)的解.7/30/20219第四章第2节常系数线性微分方程的解法定理9若方程(ai(t),u(t),v(t)都是实值函数)有复值解x=U(t)+iV(t),那么这个解的实部U(t)和虚部V(t)分别是以下方程的解:7/30/202110第四章第2节常系数线性微分方程的解法4.2.2常系数齐次线性微分方程和欧拉方程n阶常系数齐次线性微分方程

5、方程中的有系数均为常数.7/30/202111第四章第2节常系数线性微分方程的解法欧拉待定指数法(特征根法)一阶常系数齐次线性微分方程通解:x=eat.设方程(4.19)也有指数形式的解et的,为待定常数代入方程有7/30/202112第四章第2节常系数线性微分方程的解法从而方程变为则可知,et是方程(4.19)的解的充要条件是为代数方程n+a1n1+…+an-1+an=0的根.方程n+a1n1+…+an-1+an=0称为常系数齐次线性微分方程(4.19)的特征方程,其根称为特征根.7/30/

6、202113第四章第2节常系数线性微分方程的解法特征根--分类讨论(1)特征根是单根的情形设1,2,…,n是特征方程的n个彼此不相等的根,则微分方程相应地有如下n个解:验证这n个解线性无关:7/30/202114第四章第2节常系数线性微分方程的解法7/30/202115第四章第2节常系数线性微分方程的解法由于ij(ij),所以上述范德蒙行列式不等于零.所以W(t)0,即这n个解是线性无关的.7/30/202116第四章第2节常系数线性微分方程的解法实根如果1,2,…,n是n个实数,则原微分方程有n

7、个线性无关的实数解,则其通解为复根若方程有复根,并假设某对共轭复根为:=i,则微分方程也对应有两个复数解:7/30/202117第四章第2节常系数线性微分方程的解法复值解对应的实数形式为:所以复值解对应的通解形式为:7/30/202118第四章第2节常系数线性微分方程的解法例1求方程的通解.7/30/202119第四章第2节常系数线性微分方程的解法例2求解方程.7/30/202120第四章第2节常系数线性微分方程的解法(2)特征根有重根的情形设特征方程有k重根=1,则可知有F(1)=F(1)=…=F(

8、k1)(1)=0,F(k)(1)0.A若1=0,即特征方程有k重零根,则特征方程有因式k.特征方程变为:n+a1n1+…+ankk=0.此时,对应微分方程为:它有k个解:1,t,t2,…,tk1,而且这些解是线性无关的.7/30/202121第四章第2节常系数线性微分方程的解法B若10,可作变换x=ye