第十二章习题课微分方程ppt课件.ppt

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1、微分方程第十二章习题课一　基本要求：1了解微分方程的基本概念:微分方程的定义、阶、解、通解、积分曲线、特解、初始条件、初值问题；2会判断变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程；3掌握变量可分离方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程和伯努利方程；5理解二阶线性微分方程解的结构；6掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；7掌握自由项为的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式．基本概念一阶方程类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.线性方程5.伯努利方程变量代换可降阶方程线性方程解的结构定理1;定理

2、2定理3;定理4二阶常系数线性方程解的结构特征方程及其根对应的通解形式f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法二　内容提要1.基本概念凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程阶．代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．微分方程微分方程的阶微分方程的解如果微分方程的解中含有任意常数,并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．用来确定任意常数的条件.

3、求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．通解特解初始条件初值问题(1)可分离变量的微分方程解法2.一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法作变量代换分离变量法(3)一阶线性微分方程方程称为齐次的．方程称为非齐次的.齐次方程的通解为（分离变量法）解法非齐次微分方程的通解为（常数变易法）(4)伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.解法需经过变量代换化为线性微分方程．3.可降阶的高阶微分方程的解法解法特点型接连积分n次,得通解．型解法代入原方程,得型解法代入原方程,得4.线性微分

4、方程解的结构(1)二阶齐次方程解的结构:(2)二阶非齐次线性方程的解的结构:定理3设y*是(2)的一个特解,Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.那么5.二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.特征方程为特征方程为特征方程的根通解中的对应项推广：n阶常系数齐次线性方程解法6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法通解用待定系数法求特解设特解的形式三问题与思考问题1.判断正误：错

5、正确正确正确答：选择C问题2问题3.以为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为答：正确.四　典型题目例1求解下列一阶微分方程：解方法1看作一阶线性微分方程利用通解公式，得方法2看作可分离变量方程分离变量：两边积分，得注解题前要注意观察分析，选择最简方法解原方程化为代入方程得将代回，得所求通解利用线性变换可将方程变为可分离变量方程关于x的一阶线性微分方程则原方程变为由通解公式得代回，得求解一阶微分方程要特别注意：1正确识别方程所属类型,以采用相应的方法．2如果方程不属于典型类型,可以考虑引入变量代换，或考虑认定x为y

6、的函数，再判定方程的类型．例2解代入方程，得故方程的通解为例3解方程两边求导两边再求导，得由原方程和(1)式,得初始条件求解初值问题例4试确定以解从而相应的二阶常系数线性齐次微分方程为为特解的二阶常系数齐次线性方程.例5解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设由解得故原方程的通解为由即例6解(1)由题设可得：解此方程组，得(2)原方程为由解的结构定理得方程的通解为练习题1.求解下列微分方程：参考答案1.(1)可分离变量，（2）齐次方程或贝努利方程，，特解(3)关于x的一阶线性方程，（4）贝努利方

7、程（5）变量代换（6）设通解为（7）令2.解两边求导再求导整理：分离变量：，由（1）列方程两边求导，得（2）初值问题：（3）解方程，分离变量，解得所求方程为3.解设所求方程为都是对应齐次方程的解，且他们是线性无关的，是非齐次方程的一个特解，故非齐次可得故所求特解为故齐次方程通解为方程的通解为4.非齐次方程的两个特解之差