《习题课微分方程》PPT课件

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1、第十二部分：微分方程习题课第十二部分微分方程一重点与难点：1.什么是微分方程？常微分方程？线性微分方程？微分方程的阶？2.微分方程的通解与特解有什么相同点和区别？3.熟练掌握几类一阶微分方程的解法.两类方程的推广*.4.掌握三种可降阶的高阶微分方程的解法.5.什么是线性微分方程？线性微分方程的解的结构是怎样的？6.熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征根求法.7.掌握（自由项为多项式、指数函数、正弦函数及余弦函数的积与和的）二阶常系数非齐次线性方程的特解的待定系数法.8.会用微分方程解决简单的几何与物理应用问题.二例题与练习1.判断是非（是：√；非：×）2.选择题3.判断方程类型并给出

2、解法4.综合练习微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数叫微分方程的阶。1.什么是微分方程？常微分方程？怎样确定微分方程的阶？什么是线性微分方程？一、重点与难点：微分方程就是联系自变量、未知函数以及它的导数的方程。在微分方程中，若自变量的个数只有一个，称这种微分方程为常微分方程。(若自变量的个数有两个或两个以上，称偏微分方程。)若微分方程中的未知函数及其各阶导数都是一次的，称方程是线性微分方程。······2.微分方程的通解与特解有什么相同点和区别？如果函数y=(x)代入微分方程后，使它成为一个恒等式，称函数y=(x)为微分方程的解。如果微分方程的解中含有任意常数，而且(独立的)

3、任意常数的个数与方程的阶数相同，这种解叫微分方程的通解。如果给了初始条件（或其它定解条件），确定了微分方程通解中的任意常数，就得到微分方程的特解。通解与特解都是微分方程的解。通解是函数族，特解是该函数族中的一个函数。通解不一定是微分方程的全部解。但是，对线性方程，其通解就是方程的全部解。.3.几类一阶微分方程的解法方程类型解法及解的表达式(1)变量可分离的方程(简称“可”)..(2)齐次方程(简称“齐”)..(3)一阶线性方程(简称“一”).得通解：.(4)伯努利方程(简称“贝”)..化为“一”：.(5)全微分方程(恰当方程)..化为“可”分离变量，两边积分用常数变易法，或上述两类方程的

4、推广*：..1o可化成“可”的方程：2o可化成“齐”的方程：.化成“可”.为“齐”.为1o...4.三种可降阶的高阶微分方程的解法方程类型解法及解的表达式连续积分n次，可得通解：...···(1)..···(2)...（转y为自变量）.原方程化为：5.线性微分方程解的结构：..若具有n个线性无关的特解：(1)线性齐次方程：(2)线性非齐次方程：···(1)···(2)6.二阶常系数齐次线性方程的解法齐次线性方程特征根特征方程特征方程判别式两个不等实根两个相等实根一对共轭复根通解：...7.二阶常系数非齐次线性方程的特解条件不是特征根是特征单根是特征重根......二.例题与练习.1.

5、判断是非（是：√；非：×）()()()()√√××二.例题.1.判断是非（是：√；非：×）√××与练习()()()()()√×.2.选择题CDA2.选择题DB3.判断方程类型并给出解法可分离.齐次.一阶线性伯努利，令z=y–5高阶,不显含x二阶线性常系数二阶线性常系数.....二阶线性常系数....解：.4.综合练习(4)求下列方程满足初始条件的特解:(5)构造一个二阶齐次线性微分方程，使它有解谢谢使用返回首页习题课.4.综合练习解答解：.(1)求以下方程的通解：“可”2o解：.解：3o.“齐”解：4o.“不显含x”“可”5o解：.“一阶线性”解：6o.“全微分方程”QR(2)解：P(x,

6、y)yxo.Lx–xy(3)解：....(4)求下列方程满足初始条件的特解:解：.“伯努利方程”解：.“可”2o(5)解：.构造一个二阶齐次线性微分方程，使它有解(6)解：..解：.0xy(1,0)(1,1)y=0dy=0x=1dx=0(6).