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1、微分方程习题课内容小结典型例题习题选讲1、基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．内容小结通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．说明
2、:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程y=–x及y=C(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法2、一阶微分方程的解法则有(2)一阶线性微分方程上方程称为齐次的．上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为（使用分离变量法）解法非齐次微分方程的通解为（常数变易法）3、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.特征方程为4.二阶常系数线性非齐次微分方程:根
3、据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法待定系数法.例1解法1分离变量即(C<0)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:典型例题例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为例3.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:解例4例5如图所示，平行于轴的动直线被
4、曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程所求曲线为例6有特而对应齐次方程有解微分方程的通解.解:故所给二阶非齐次方程为方程化为设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程故再积分得通解复习:一阶线性微分方程通解公式提示：调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解…...化为例7.求下列方程的通解解特征方程为解得故所求通解为例8解特征方程为解得故所求通解为例9例10.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例11.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的
5、通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例12.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例13例14.求微分方程的通解(其中为实数).解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为例15.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为解：特征根为齐次
6、方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得原方程通解为例16.求下列微分方程的通解例17.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为例18求以为通解的微分方程.解:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为例19.且满足方程解:则问题化为解初值问题:最后求得例20：求方程的通解.解:通解为通解为通解为……例21.已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.提示:设曲线上的动点为M(x,y),
7、令X=0,得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵例1.求方程的通解.解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,y为自变量的一阶线性方程习题选讲解：设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）例2:写出微分方程的待定特解的形式.例3.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微
8、分方程:(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是的解.例4.设函数内具有连续二阶导(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件数,且解:上式两端对x求导,得:(1)由反函数的导数公式知(03考研)代入原微分方程得①(2)方程①的对应齐次方程的通解为设①的特解为代入①得A＝0,从而得①的通解:由初始条件得故所求初值问题的解为P366题4.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生
