《微分方程习题课》PPT课件

《《微分方程习题课》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第十章微分方程习题课（二）高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程1．高阶微分方程的定义2．可降阶的高阶微分方程类型(1)(2)(3)3．可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解。解题方法流程图如下图所示。解题方法流程图逐次积分解一阶微分方程解一阶微分方程可降阶的高阶微分方程特点:不显含转化为一阶方程特点:不显含通解YesNo令令转化为一阶方程4.典型例题【例1】求方程的通解。解：由于不显含，令，则代入原方程整理得即因此再积分一次，即得原方程的通解

2、为：此解可以写成分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含所以可引入变量将二阶微分方程变成一阶微分微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。【例2】求方程的通解。分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含所以可引入变量将二阶微分方程变成一阶一阶微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。解：由于不显含，令，则代入原方程整理得即为一阶线性微分方程利用公式得即积分得分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含所以可引入变量将二阶微分方程变成一阶微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。解：由于不显含,令,则代入原方程整理得所以或当时，此方

3、程为可分离变量的方程，分离变量得：【例3】求方程满足初始条件的特解。积分得：所以即将代入得，从而分离变量得：将代入得所求方程的特解为：特解为，含在内。当时，即积分得二、二阶常系数线性微分方程1．定义(1)二阶常系数线性齐次微分方程：(2)二阶常系数线性非齐次微分方程:2．解的结构性质(1)若和是齐次方程的解,则是齐次方程的解。(2)若和是齐次方程的线性无关解,则是齐次方程的通解。(3)若是齐次方程的通解，是非齐次方程的特解，则是非齐次方程的通解。都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数所求通解为解4、典型例题【例5】已知是某个二阶线性非齐次

4、微分方程的三个特解，求通解及方程的表达式。分析：由二阶线性非齐次微分方程解的结构，先求出对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。解：因为是对应齐次方程的两个线性无关的特解，可知特征方程有两个根，特征方程为对应齐次方程为：对应齐次方程通解为：又因为是非齐次微分方程的特解，将其代入有所求的方程为：通解为：解特征方程为解得故所求通解为例6解特征方程为解得故所求通解为例7解特征方程为解得故所求通解为例8练习题练习题答案