ARMA模型的参数估计1资料ppt课件.ppt

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1、第四章ARMA模型的参数估计ARMA模型的参数估计求和模型与季节模型的处理方法回归与自回归混合模型的处理方法其它时序模型的统计方法模型参数估计一般分两步：1、找出模型参数的初估计。常见三种方法（矩估计直接法，矩估计的逆函数法，矩估计的逆相关函数法）2、在初估计的基础上，根据一定准则求得模型参数的精估计。常见两种方法（线性和非线性最小二乘方法，近似极大似然估计）第一节自回归模型的拟合如果时间序列是平稳AR序列，根据此序列的一段有限样本值对的模型进行统计，称为自回归模型拟合自回归模型拟合主要包括：(1)判断自回归

2、模型AR的阶数；(2)估计模型的参数；(3)对拟合模型进行检验。一.AR(p)模型的参数估计目的：为观测数据建立AR(p)模型(1.1)假定自回归阶数p已知，考虑回归系数和零均值白噪声的方差的估计。数据的预处理：如果样本均值不为零，需将它们中心化，即将它们都同时减去其样本均值再对序列按(1.1)式的拟合方法进行拟合。假定数据适合于以下模型(1.2)其中，p为给定的非负整数，为未知参数，记为系数参数，为独立同分布序列，且，与独立，参数满足平稳性条件。1.AR(p)模型参数的Yule-Walker估计对于AR(p

3、)模型，自回归系数由AR(p)序列的自协方差函数通过Yule-Walker方程唯一决定，白噪声方差由决定。AR(p)模型的自回归系数和白噪声方差的矩估计就由样本Yule-Walker方程(1.3)和(1.4)决定。令则(1.3),(1.4)式可写为实际应用中，对于较大的p,为了加快计算速度可采用如下的Levison递推方法递推最后得到矩估计上式是由求偏相关函数的公式：导出。定理1.1如果AR(p)模型中的是独立同分布的，则当时(1)(2)依分布收敛到p维正态分布。注：用表示的第元素时，可知依分布收敛到，于是的

4、95%的渐近置信区间是在实际问题中，未知，可用的元素代替，得到的近似置信区间2.AR(p)模型参数的最小二乘估计如果是自回归系数的估计，白噪声的估计定义为通常为残差。我们把能使(1.6)达到极小值的称为的最小二乘估计。记则，于是的最小二乘估计为即相应地，白噪声方差的最小二乘估计式中为的p个分量。定理1.2设AR(p)模型中的白噪声是独立同分布的，是自回归系数的最小二乘估计，则当时，依分布收敛到p维正态分布注：对于较大的n，最小二乘估计和矩估计(Yule-Walker)估计的差别不大。3.AR(P)模型的极大似

5、然估计假定模型AR(p)中的为正态分布，则观测向量的高斯似然函数为相应的对数似然函数为其中，为的协方差阵，表示的行列式，使得对数似然函数达到极大值的和称为和的极大似然估计。从另一角度考虑：注：当n充分大时，AR(p)模型参数的极大似然估计、最小二乘估计和矩估计(Yule-Walker估计)三者都非常接近，即三者渐近相等，它们都可以作为AR(p)模型的参数估计，这是AR(p)模型的独有的优点。例1.1.由下列AR(1)序列产生长度为n=300的样本，计算出前5个样本自协方差函数值为求参数的矩估计和最小二乘估计。

6、(1)参数的矩估计分别为将样本自协方差函数值代入得(2)参数的最小二乘估计分别为例1.2求AR(2)模型参数的估计，这里n=300,(1)AR(2)模型的矩估计为计算出的前5个样本协方差函数值为将其值代入上式得：(2)最小二乘估计注：一般在求高阶AR(p)模型参数的矩估计时，为了避免求高阶逆矩阵，可采用求偏相关函数的递推算法，求出即为的矩估计，将它们代入的表达式可得。二.AR(p)模型的定阶1.偏相关函数的分析方法一个平稳序列是AR(p)序列当且仅当它的偏相关函数是p步截尾的。如果p步截尾：当时，；而，就以作

7、为p的估计。定理1.3设由定义，如果AR(p)模型中的白噪声是独立同分布的，，则对确定的k>p,当时，依分布收敛到k维正态分布。推论：在定理1.3的条件下，对k>p,依分布收敛到标准正态分布N(0,1)。根据推论，对于AR(p)序列和k>p，当样本量n比较大时，以近似于0.95的概率落在区间之内。于是对于某个固定的k，以作为p的估计。或者根据推论有如下的检验方法：对于某个正整数p,显著地异于零，而近似等于零,其满足(或)的个数占的比例近似地为68.3%(或95.5%),则近似地认为在p步截尾，初步判定为AR(

8、p)。例1.3（例1.1续）使用样本偏相关函数对AR(p)的模型阶数作初步的判定。结果：取上限，样本自相关函数呈拖尾状，而从15个偏相关函数来看,除显著异于零之外，其余14个中绝对值不大于的有10个，于是结论：初步判定为AR(1)模型。前15个样本偏相关函数例1.4（例1.2续）使用样本偏相关函数对AR(p)的模型阶数作初步的判定。结果：取上限，样本自相关函数呈拖尾状，而从15个偏相关函数来看，除显