线性微分方程ppt课件.ppt

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1、§9.4线性微分方程我们将方程(1)称为二阶线性微分方程(关于都是一次的)若R(x)=0,则方程(2)称为二阶线性齐次微分方程.同样如果R(x)0,称方程(1)为二阶线性非齐次微分方程若P(x)=p,Q(x)=q(p,q为常数)则方程(1)为(3)(3)方程(3)称为二阶线性常系数微分方程同样地,如果R(x)=0,即(4)称方程(4)为二阶线性常系数齐次微分方程否则若R(x)0,称方程(3)为二阶线性常系数非齐次微分方程1º二阶线性微分方程解的结构设P(x),Q(x),R(x)在[a,b]上连续,下面我们讨论方程(1),(2)解的性质性质1(齐次方程解的叠加性)(线性性质)如果y1

2、(x),y2(x)是齐次方程(2)的解,则对任意常数c1,c2R,y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)也是方程(2)的解证明因为是方程(2)的解问题:是否为方程(2)的通解?若y1(x)与y2(x)成线性关系,即存在常数LR使则此时不是方程(2)的通解定义对于[a,b]上的两个函数y1(x),y2(x),若其中之一是另一个的常数倍,即存在常数L使则称函数y1(x),y2(x)在[a,b]上线性相关,否则称y1(x),y2(x)在[a,b]上线性无关说明:由于在任意区间上都是线性无关由于在任一区间上都是线性相关的定理1(二阶线性齐次方程解的结构)如果y1(x),y2(x)是齐次方

3、程(2)在[a,b]上的任意两个线性无关的解,则是齐次方程(2)在[a,b]上的通解(这里c1,c2是任意常数)(5)定理1的结论可类似地推广到n阶线性齐次方程(6)定义对于[a,b]上的函数则称这n个函数在[a,b]上是线性相关的,如果存在n个不全为零的常数使在[a,b]上有否则称这n个函数在[a,b]上是线性无关的定理2(n阶线性齐次方程解的结构)如果函数是齐次方程(6)是方程(6)的通解的n个线性无关的特解,则说明:(1)线性齐次方程解的结构定理把方程的求解归结为对方程的线性无关解的计算问题(2)对于一般的变系数线性齐次方程,对线性无关解的计算仍是困难的(3)求解齐次方程(2)的

4、方法:(a)求出(2)的两个线性无关的特解y1(x),y2(x);(b)写出通解例验证是微分方程的一个解,并求其通解解将代入方程得是方程的一个解由于方程是二阶线性齐次微分方程,故为求其通解,只需求一个与y1线性无关的解y2设是方程的解,其中u(x)是待定函数由于代入方程得积分得由于只需取一个解,故取c1=1,于是有再积分得取c2=0,则有所以是原方程的一个解,且与线性无关.根据齐次方程解的结构定理知,方程的通解为下面讨论非齐次方程(1)的解的结构证明将函数代入方程(2)有性质2如果是非齐次方程(1)的任意两个特解，则是非齐次方程(1)所对应的齐次方程(2)的解进一步分析：若是非齐次方程

5、(1)的任意一个解是非齐次方程(1)的一个任意取定的特解根据性质2，是齐次方程(2)的解，即非齐次方程(1)的任意一个解都可表示为非齐次方程(1)的任意一个取定的特解与其对应的齐次方程（2）的某一解的和。从而有反之，容易验证也一定是非齐次方程(1)的解定理(非齐次方程解的结构)其中c1,c2是任意常数如果y1(x),y2(x)是方程(1)对应的齐次方程(2)的任一特解,的任意两个线性无关的解,是非齐次方程(1)则是非齐次方程(1)的通解，非齐次方程的求解方法:(1)求出齐次方程的任意两个线性无关的特解y1(x),y2(x);(2)求出非齐次方程的一个特解(3)写出非齐次方程的通解例设y

6、1(x),y2(x)和y3(x)都是二阶线性非齐次微分方程的解,且常数,求证:是该方程的通解,其中c1,c2是任意常数.解因为由于是非齐次方程的解,所以是其对应齐次方程的解根据非齐次方程解的结构定理知是非齐次方程的通解由于常数,解线性无关.性质4(非齐次方程解的叠加原理)如果函数y1(x)和y2(x)分别是二阶线性非齐次方程和的解,则是方程的解2º二阶线性常系数微分方程考虑二阶线性常系数方程(7)的求解问题(1)二阶线性常系数齐次方程的求解设齐次方程(8)其中p,q为常数下面考虑求(8)的两个线性无关的特解设方程(8)有形式的解,代入方程(8)有即待定常数λ应满足方程(9)方程(9)

7、称为齐次方程(8)的特征方程为求方程(8)的两个线性无关的解,需分别对特征方程(9)的情况进行讨论(a)如果特征方程(9)有两个不同的实根设是特征方程(9)的根,则是方程(8)的解.由于常数,是线性无关解,所以方程(8)的通解(b)如果特征方程(9)有两个不同的复根设两个复根:则有解为了获得方程(8)的两个实线性无关解,利用性质1知都为(8)的解并且y1,y2是(8)的实函数解,同时是线性无关的.所以方程(8)的通解(c)如果特征方程(9)有相