双曲线中点弦存在性的探讨加工修改.doc

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1、双曲线中点弦存在性的探讨　　求过定点的双曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法：　　（1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程．　　（2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解．　　无论使用点差法还是联立法，都要运用来判定中点弦是否存在，而这完全取决于定点所在的区域．现分析如下：　　利用双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域（如图）．　　当在区域Ⅰ内时，有　　当在区域Ⅱ内时，有　　当在区域Ⅲ内时，有．　　利用上述结论，可以证明：

2、　　当在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下：　　设双曲线的弦两端点为，，中点为，则，，　　运用点差法得出的斜率　　令直线的方程为，即　　把②代入，整理得，　　　　把①代入③，整理得．双曲线渐近线方程为：，若在Ⅱ内有，平方得，，这时，中点弦存在。若在Ⅲ区域内有，平方得，双曲线上横坐标为的点纵坐标为：，显然有，即成立，，化简得，这时，则中点弦存在。因此当或，成立，此时中点弦存在；若在Ⅰ区域内有，平方得，双曲线上纵坐标为的点横坐标为：，显然有，即成立，，化简得，再由则，这时，中点弦不存在．

3、　　例 过点作双曲线的弦，使点为的中点，则的方程为（）　　（A）（B）（C）（D）不存在　　分析 将及联立得．此时，，则选（D）．　　若运用上述区域法，只要判断在区域Ⅰ就可得出中点弦不存在的结论，故可直接选（D）．