双曲线中点弦存在性的探讨.doc

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1、双曲线中点弦存在性的探讨求过定点的双曲线的屮点弦问题，通常有下面两种方法：（1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减，得到弦屮点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程.（2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解.无论使用点差法还是联立法，都要运用A>0来判定屮点弦是否存在，血这完全取决于定点所在的区域.现分析如下：利用双曲线及其渐近线，可把平面分成1、11、山三个区域（如图）.当尸（心，必）在区域I内吋，有o<4-4<1ab2当尸（心必）在区域II内时，有4-4<°ab2垃-出>1当刊心必）在区域III内吋，

2、有/M・利用上述结论，可以证明：当He几）在区域I时，以它为屮点的弦不存在，而在区域II、III时，这样的弦是存在的•证明过程如下：Z_L=1设双曲线产的弦加两端点为川心乃）,列心幻，屮点为$、x一乃+勺y_乃+乃除，必），则心一2,几一2.k_X診2运用点差法得出的斜率必/・①令直线血的方程为歹一几二也-心）即y=kx-k^^yQ②22xy_1—7一—2"=1把②代入。b,整理得(b2-a2k2)x2-2ka2(yQ-kxQ)x-a2(yQ-Arx0)2-a2b2=0A=-2ka2(70-kx^)]2-4(i2-a2k2^-a2-A:x0)2-a2b2

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