复变函数试卷七2010.doc

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1、《复变函数》试卷七一．填空题（20分）1．已知z＝1－I，则argz＝(－π

2、z

3、=，=2．变换W=Z3将z平面上的区域D变换为W平面上的区域G：，其中D：0

4、z

5、<2内有个零点，f(z)在2≤

6、z

7、<3内有个零点，f(z)在3≤

8、z

9、<＋∞内有零点，f(z)在z＝1处的旋转角为，伸缩率为。5．幂级数z＋z4＋z9＋…＋＋…的收敛半径为6．设z＝x

10、＋y，w＝，则＝，Imz＝7．设f(z)在z＝0的去心邻域内的罗朗展式为f(z)＝，则＝8．叙述解析函数的最大模原理9．在原点解析，而在z＝（n=1，2，…）处取值为f()=的函数为二．判断题（20分）1．设a是z平面上一点，a为函数f(z)的可去奇点，则（）2．如果函数f(z)在某有界区域D内解析，且在D内有一列零点，则f(z)在D内恒为零（）3．如果f(z)＝=u(x·y)+iv(x·y)中的u(x·y)与v(x·y)在区域D内满足C－R条件，则f(z)在区域D内解析（）4．设f(z)在区域内解析，C是D内任一曲线，则f（z）dz=0（）

11、5．设函数f(z)在点a（≠∞）处解析，则总存在R>0，在

12、z－a

13、

14、z

15、＝24.求积分I＝四．（10分）叙述代数学基本定理并利用复变函数论的方法证明

16、五．（10分）试证明在线性变换下，四点的交比不变六．（20分）1．求将上半z平面保形变换成上半w平面的线性变换w＝L(z)，使合条件L(i)＝1＋i，L(0)＝02．求将对应变成的线性变换试卷七参考答案一、填空题1、2、3、解析函数唯一性4、2，2，0，，5、16、，7、8、设在区域内解析且不恒为常数，则的最大值不可能在内达到9、二、判断题1－5√×××√，6－10√√×××三、计算题1、解：2、解：3、解：，则4、解：令，则令，则四、①在平面上，次多项式至少有一个零点.②证：反证法，设在平面上无零点.由于在平面上是解析的，在平面上也必解析.

17、下面证在平面上有界，由于故存在充分大的正数，使当时，又因在上连续，故可设（正常数）从而，在平面上，于是，在平面上是解析且有界的.由刘维尔定理，必为常数，即必为常数.这与定理的假设矛盾.故定理得证五、证：设则因此六、1．解：设所求线性变换为，其中都是实数，由于必，因而.用除分子分母，则变形为其中都是实数，再由第一个条件得即所以解之得故所求得线性变换为，即2．解：所求线性变换为即化简为于是化简后得