复变函数试卷A

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1、（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、选择题（每小题2分，共12分）1、下列命题正确的是__________.A.B.C.D.（是整数）2、复数的三角形式为________.A.B.C.D.3、若在圆环域内解析，则可以展成洛朗级数，其中________.A.B.，为圆环域内围绕的简单闭曲线C.D.，为围绕的简单闭曲线4、_______，其中C：正向圆周.A.B.C.0D.5、若函数在区域D内解析，则下列命题错误的是____.A．在区域D内可微B.在区域D内解析C．D.，其中C为D内任意一条包围的闭曲线6、是函数的__________.A．可去奇点B

2、二级极点C．三级极点D.本性奇点6一、填空题（每小题3分，共18分）1、_____________.2、设复数.3、设C为正向圆周，则=_________.4、设C为围绕的任意简单闭曲线，为整数，则=_________.5、.6、设在扩充复平面内有三个孤立奇点，且它在奇点的留数分别是，则函数在零点的留数.二、是非判断题（每小题2分，共10分）1、.()2、解析函数的实部与虚部互为调和函数.（）3、若在点的导数存在，则在点解析.（）4、级数是绝对收敛的.（）5、的孤立奇点是一级极点.（）三、计算题（每小题10分，共50分）1、计算积分.2、函数在何处可导

3、？何处解析？在可导点求其导函数.3、求函数在的泰勒展式，并指出其泰勒级数的收敛范围.64、将函数在圆环域内展为洛朗级数.5、利用留数定理计算.一、证明题（10分）若在解析，证明：.（答案要注明各个要点的评分标准）一、选择题（2*6=12）1．D2．A3．B4．C5．D6．B二、填空：（3*6=18）1．2．3．4．5．6．三．判断题(2*6=12)1．错2．错3．错4．对5．对四．计算题（5*10=50）1、解：被积函数的奇点有和且都在内，（2分）分别绕0和1作位于内的简单闭路和，由复合闭路定理（3分）原式（5分）由柯西积分公式及高阶导数公式（6分）上

4、式=（8分）（10分）2、解：函数的定义域为复平面（1分）6由已知（2分）而（4分）若函数可导须满足柯西黎曼方程（6分）即所以（7分）所以，函数在直线可导，此时，（8分）但在整个复平面不解析.（10分）3、解：由于的解析区域是除负实轴上外的区域，（1分）所以离最近的奇点是-1，故收敛半径是1，收敛圆域是（3分）因为（5分）而（8分）两边逐项求积分得（10分）4、解：因为（2分）在内，可知（3分）因为（6分）（8分）6所以（10分）5、解：因为，（1分）令，则（2分）故（3分）（4分）令则（5分）因此（6分）（8分）（9分）所以（10分）五．证明题（10

5、）证明：由已知条件及柯西积分公式得（1分）6其中是圆周（3分）的极坐标方程可写为（5分）所以（8分）（9分）6