导数在函数求最大值和最小值中的应用.doc

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时间:2020-09-22

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1、导数在函数求最大值和最小值中的应用例1.求函数f(x)=5x+2的值域.解析:由得f(x)的定义域为-3≤x≤4,原问题转化为求f(x)在区间[-3,4]上的最值问题。∵y’=f’(x)=,在[-3,4]上f’(x)>0恒成立,∴f(x)在[-3,4]上单调递增.∴当x=-3时ymin=-15-,当x=4时ymax=20+2,∴函数的值域为[-15-,20+2].例2.设

2、时,f(x)取极大值b,而f(0)>f(a),f(-1)0,∴f(x)的最大值为f(0)=b-1,又f(-1)-f(a)=(a3-3a-2)=(a+1)2(a-)<0,∴f(x)

3、min=f(-1),∴-a-1+b=-a=-,∴a=,b=1.例3.若函数f(x)在[0,a]上单调递增且可导,f(x)<0,f(x)是严格单调递增的,求在(0,a]上的最大值。解析:,∵f(x)是严格单调递增的,∴f’(x)>0,∵f(x)<0,x>0,∴f’(x)·x-f(x)>0,∴>0,∴在(0,a]上是增函数。

4、∴在(0,a]上最大值为.例4.设g(y)=1-x2+4xy3-y4在y∈[-1,0]上最大值为f(x),x∈R,①求f(x)表达式;②求f(x)最大值。解析:g’(y)=-4y2(y-3x),y∈[-1,0],当x≥0时,g’(y)≥0,∴g(y)在[-1,0]上递增,∴f(x)=g(0)=1-x2.当-0,在[-1,3x]上恒成立,在(3x,0)上恒成立,∴f(x)=g(3x)=1-x2+27x4.当x≤-时,g’(y),g(y)在[-1,0]上递减,∴f(x)=g(-1)=-x2-4x,∴f(x)=.②当x≥0时,f(x)≤f(0)=1,当x∈

5、(-,0)时,f(x)=27[(x-)2-]+1

6、max=f(-2)=4.例5.设函数f(x)=3x2+(x∈(0,+∞)),求正数a的范围,使对任意的x∈(0,+∞),都有不等式f(x)>20成立。解析:f’(x)=6x-,令f’(x)=0得x=,当0时f’(x)>0,∴x=是唯一的极值点,是极小值点且是最小值点.要使f(x)≥20恒成立,∴f(x)

7、min≥20,∴,解得a≥64.例6.圆柱形金属饮料罐的表面积一定时,应怎样制作,其容积最大?解析

8、:设圆柱的高为h,底面半径为R,则S=2πRh+2πR2,∴h=,∴V(R)=S底面·h=,由V’(R)=0得S-3πR2=0得S=6πR2,∴6πR2=2πRh+2πR2,∴h=2R,即当罐的高和底面直径相等时容积最大.例7.已知三次函数f(x)=x(x-a)(x-b),其中0<a<b.(1)设f(x)在x=s及x=t处取最值,其中s<t,求证:0<s<a<t<b;(2)设A(s,f(s)),B(t,f(t)),求证:AB中点C在曲线y=f(x)上;(3)若a+b<2,求证:过原点且与曲线y=f(x)相切的两直线不可能垂直。解析:(1)f’(x)=3x2-2(a+b)x+

9、ab,由f(x)在x=s和x=t处取最值,∴s,t分别是方程f’(x)=0的两实根.∵f’(0)=ab>0,f’(a)=3a2-2(a+b)a+ab=a(a-b)<0,f’(b)=b2-ab=b(b-a)>0,∴f’(x)=0在(0,a)及(a,b)内分别有一个实根,∵s

10、1(x1-a)(x1-b)=-x1[3x12-2(a+b)x1+ab],当x1=0时,切线的斜率为k1=ab,当x1=时,切线斜率为-(a+b)2+ab,∵a,b>0,a+b<2,∴k1k2=[-(a+b)2+ab],Ab=(ab)2-(a+b)2+ab>(ab)2-2ab=(ab-1)2-1≥-1∴k1k2≠-1,即两切线不可能垂直。例8、设函数f(x)=x3+mx2+nx+p在(-∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数,x=2是方程f(x)=0的一个根.(1)求n的值;(2)求证:f(1)≥2.剖析:由题知

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