导数在函数求最大年夜值和最小值中的应用

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1、导数在函数求最大值和最小值中的应用例1・求函数几丫)=5兀+2/x+3一a/4-x的值域.解析：由jX+3^°得/W的定义域为一30W4,原问题转化为求/U)在区间［-3,4］上的最值问题。4-x^0才=厂(兀)=5+-^+Jx+3在［一3,4］上厂⑴>0恒成立，・・・7U)在［一3,4］上单调递增.当x=—3时％血=一15—J7,当x=4时)^=20+2V7，2例2.设严V,函数血・・・函数的值域为[-15-77,20+2"].—ax2+b(―lWxWl)的最大值为1,最小值为一求a,b的值。22解

2、析：fx)=3xi-3ax=3x(x-a)f当兀变化时,厂⑴,/W的变化情况列表如下:当尸0时，用)取极大值"，而用)刁⑷，几一i)勺⑴，X一1(-1.0)0(0,a)a(a.l)1厂(篦)+0—0+心)-1-~^-a+bba",-2I1-2a+b・••需要比较几0)与兄)的大小，3•・•人0)—/(1)=一。一1>0,・•・几r)的最大值为f(0)=b-t又夬_1)一张)=y(a3—3a—2)=y(a+1)2(a—)<0,乙厶・•・的心T)，・•・一

3、。一1+方3胚.x/62,—a=—,…ci=,

4、b=223例3.若函数/(X)在［0,a］上单调递增且可导,金)<0,心)是严格单调递增的，求△^在(0,可上的最大值。X解析：［型丁二/W⑷,vf(x)是严格单调递增的，・・・/'(x)>0,•・•/U)<0,x>0,・・・厂(对之~/(兀)>0,・・.［竺『=厂(工);_/(切>o,.・・出1在©可上是增函数。xX・・・竺在(0,a］上最大值为迴・xa例4.设g(y)=-x2+4xyi-y4在疔［一1,0］上最大值为金),x^R,①求/W表达式；②求/W最人值。解析:gO)=—4y2(y—3x)

5、,yW［—1,0］,当兀20时，g'gO,・・・g(y)在［T,0］上递增，・・・/U)=g(O)=l—当一丄Vc<0时,g'(y)>0,在［一1,f(x)=g(3x)=l—x2+27x4.当xW—*吋，g°),g(y)在［―1，3x］上恒成立，在(3x,0)上怕成立，0］上递减，•:/(x)=g(—1)=—兀'一4兀,•••./W=i1-X2兀201-X2+27/1——

6、，当时，几巧=一(兀+2)2+4切一2)=4,11・・•Ky<4,AA^)U=A-2)=4.例5.设函数Ax)=3x2+4(xW(0,+°°))，求正数a的范围，使对任意的xe(0,+-),都有不等式f(x)>20成立。解析:厂⑴=&—卑,X令厂(兀)=0得I时厂⑴>0,当0(佯4^1(I_・・・x=(^y是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点.要使/U)220恒成立…・・尢)為P20,/((孚)=3•(纬a$20,2?解得a$64.例6.圆柱形金属饮料罐的表面积一

7、定时，应怎样制作，其容积最大?解析：设圆柱的高为仏底面半径为/?,则SGtRh+2兀c_2yr/?2iMR由VR)=0得-S-3tiR2=0得S=6tiR.・.6兀，=2兀Rh+2兀M,.・.h=2R,2即当罐的高和底面直径相等时容积最大.例7.已知三次函数f(x)=x(x—a)(x~h)fH屮0

8、两直线不口J能垂直。解析：(1)fy(x)=3x-2(a+b)x^ab,由金)在x=s^x=t处取最值，・•・5,r分別是方程厂(兀)=0的两实根.*.*厂(0)=ab>0,fa)=3a2~2(a+b)a+ab=a(a—b)<0,fb)=b2-ab=b(b-a)>Of.••厂(x)=0在(0,d)及(a,b)内分别有一个实根,丁5<6•:0

9、+15,/是方程厂⑴=0的两根••••abst=——3•・・/号)=f(詈)=-寻(w+訥d+")=

10、［/(5)

11、+/(01，・・・的中点C(—,f(—))在曲线y=/W上.(3)过曲线上点(xpyi)的切线方程为y—y=[3x]2—2(a+b)xi+ab](x—x),illyi=xi(xi—a)(x—b)且切线过原点.・°・—xi(xi—a)(xi—b)=—x[3x—2(a+b)xl+ab],当X!=0时，切线的斜率为k=ab,当兀1="+"时，切线斜率为一—(d+b^+db,24a,b>0fa+b<2V2,.Ikki=[——(a+b)