导数在函数求最大值和最小值中的应用

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1、导数在函数求最大值和最小值中的应用例1．求函数f(x)＝5x＋2的值域.解析：由得f(x)的定义域为－3≤x≤4，原问题转化为求f(x)在区间[－3,4]上的最值问题。∵y’＝f’(x)＝,在[－3，4]上f’(x)＞0恒成立,∴f(x)在[－3，4]上单调递增．∴当x＝－3时ymin＝－15－，当x=4时ymax=20＋2，∴函数的值域为[－15－，20＋2].例2．设

2、f(x)的变化情况列表如下：当x=0时,f(x)取极大值b，而f(0)>f(a)，f(－1)0，∴f(x)的最大值为f(0)＝b－1，又f(－1)－f(a)=(a3－3a－2)=(a+1)2(a－)<0，∴f(x)

3、min=f(－1)，∴－a－1+b=－a=－,∴a=，b=1.例3．若函数f(x)在[0，a]上单调递增且可导，f(x)<0，f(x)是严格单调递增的，求在(0，a]上的最大值。解析：，∵f(x)是严格单调递增的，∴f’(x)>0，∵f(x)<0，x

4、>0，∴f’(x)·x－f(x)>0，∴>0，∴在(0，a]上是增函数。∴在(0，a]上最大值为．例4．设g(y)＝1－x2＋4xy3－y4在y∈[－1，0]上最大值为f(x)，x∈R，①求f(x)表达式；②求f(x)最大值。解析：g’(y)=－4y2(y－3x),y∈[－1,0]，当x≥0时，g’(y)≥0，∴g(y)在[－1,0]上递增,∴f(x)=g(0)=1－x2.当－0，在[－1，3x]上恒成立，在(3x，0)上恒成立，∴f(x)=g(3x)=1－x2+27x4.当x≤－时，g’(y)，g(y)在[－1，

5、0]上递减,∴f(x)=g(－1)=－x2－4x,∴f(x)=.②当x≥0时，f(x)≤f(0)=1，当x∈(－，0)时，f(x)=27[(x－)2－]+1

6、max＝f(－2)＝4.例5．设函数f(x)＝3x2+(x∈(0，＋∞))，求正数a的范围，使对任意的x∈(0，＋∞)，都有不等式f(x)＞20成立。解析：f’(x)＝6x－，令f’(x)=0得x＝，当0时f’(x)＞0，∴x＝是唯一的极值点，是极小值点且是最

7、小值点.要使f(x)≥20恒成立，∴f(x)

8、min≥20,∴,解得a≥64.例6．圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？解析：设圆柱的高为h，底面半径为R，则S=2πRh+2πR2，∴h=,∴V(R)＝S底面·h=,由V’(R)=0得S－3πR2=0得S=6πR2，∴6πR2=2πRh+2πR2，∴h=2R，即当罐的高和底面直径相等时容积最大．例7．已知三次函数f(x)=x(x－a)(x－b)，其中0＜a＜b．（1）设f(x)在x＝s及x=t处取最值，其中s＜t，求证：0＜s＜a＜t＜b；（2）设A(s，f(s))，B

9、(t，f(t))，求证：AB中点C在曲线y＝f(x)上；（3）若a＋b＜2，求证：过原点且与曲线y＝f(x)相切的两直线不可能垂直。解析：（1）f’(x)＝3x2－2(a＋b)x+ab，由f(x)在x＝s和x＝t处取最值，∴s，t分别是方程f’(x)＝0的两实根．∵f’(0)=ab>0，f’(a)＝3a2－2(a＋b)a+ab=a(a－b)<0，f’(b)＝b2－ab=b(b－a)>0，∴f’(x)＝0在(0，a)及(a，b)内分别有一个实根，∵s

10、)=,∵,∴AB的中点C(，f())在曲线y=f(x)上.（3）过曲线上点(x1，y1)的切线方程为y－y1=[3x12－2(a＋b)x1+ab](x－x1),由y1=x1(x1－a)(x1－b)且切线过原点．∴－x1(x1－a)(x1－b)=－x1[3x12－2(a＋b)x1＋ab],当x1=0时，切线的斜率为k1=ab，当x1=时，切线斜率为－(a+b)2+ab，∵a,b>0，a+b<2，∴k1k2=[－(a+b)2+ab],Ab=(ab)2－(a+b)2+ab>(ab)2－2ab=(ab－1)2－1≥－1∴k1k2≠－1，即两切线不

11、可能垂直。例8、设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根.（1）求n的值；（2）求证：f（1）≥2.剖析：由题知