数学模型试题2006-2007-1-A-ans.doc

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1、天津理工大学考试试卷2006～2007学年度第一学期《数学模型》期末考试试卷评分标准课程代码：试卷编号：1-A命题日期：2006年12月8日答题时限：90+60分钟考试形式：开卷、笔试+机试得分统计表：大题号总分一二三四五一、填空题（每小题4分，共16分,必答题）得分（1）．建立数学模型的全过程是一个由表述、求解、解释、验证的迭代过程，其中表述是指：根据建模的目的和掌握的信息，将实际问题用数学语言确切地表述出来；求解是指：选择适当的数学方法求的数学模型的解答；解释是指：把数学语言表述的解答翻译回现实对象，给出实际问题的解答

2、；验证是指：用现实对象的信息检验得到解答，以确认结果的正确性。(2)“线性规划”问题的基最优解是指既是最优解又是可行解的向量。其中可行解是指满足约束条件的向量；最优解是指使目标函数达到最优的可行解。根据“基最优解存在定理”，若线性规划问题有最优解，则至少在某个基本最优解上找到；若两个解均是最优解，则它们的凸组合也是最优解，此时最优解有无穷多个。(3)“动态规划”的过程是一个多阶段的决策过程。所遵循的最优性原理是：最优决策序列的每一个截断仍是最优的。所谓“最优轨线”是指：最优决策序列从前往后所历经的状态序列。求解动态规划的“

3、逆序算法”是指：依据基本方程，从后往前逐步递推求得最优决策序列或轨线的过程。(4)运用“层次分析法”建立的数学模型一般是由目标层、准则层和方案层构成的一个从上至下彼此关联递接的层次结构。二、（本题14分）得分已知某宠物饲养基地饲养的种犬对饲料中的三种成分：蛋白质、矿物质、维生素特别敏感，每只犬每天至少需要蛋白质700克，钙质30克，维生素100毫克。由于目前市场上没有专用饲料，该基地不得不从市场上购买5种不同品牌的饲料S1、S2、S3、S4、S5加工成混合饲料，该买5种不同品牌的饲料料1千克中所含营养成分及市场价格如下表所

4、示饲料营养成分价格（元/千克）蛋白质（克）钙质（克）维生素（毫克）S1310.52S2200.517S3100.20.24S46223S5180.50.85请建立用来确定：即能满足该动物生长需要，又使总成本最低的混合饲料配方的数学模型，。（注：不必具体求解，但要写出求解的MATLAB语句。）解：设每只犬每日所需混合饲料中含饲料S1、S2、S3、S4、S5的量分别为千克--2分目标函数：min-----3分约束条件：-----10分;;;Aeq=[];beq=[];lb=[0;0;0;0;0;0];ub=[];[X,efla

5、g]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)f=c*X----14分三、（本题共15分）得分某人外出旅游，需将12件物品有选择地装入行李袋，其最大负荷为30kg.若设第i件物品的重量为,使用价值为，试建立：能求使其所选物品使用价值最大的装包方案的动态规划模型。（要求：写出阶段变量、决策变量、状态变量、状态转移方程、阶段评价指标函数、过程评价指标函数、逆向递推的基本方程。）解：阶段变量：决策变量：选择第k件物品是否装入------2分状态变量：选择第k件物品时行李袋中允许装入的重量------4分状态转移方

6、程：，------6分阶段评价指标函数：---选择选择第k件物品的使用价值--8分过程评价指标函数：选择第个至第12个物品的总使用价值的最大值--10分逆向递推的基本方程：---15分四.解答题（15分）得分(1)设卫星绕地球作匀速圆周运动，地球的质量为M，地球半径为R,,地球表面的重力加速度为g。若运载火箭将卫星送往离地面的距离为h的运行轨道，求运载火箭的末速度的计算公式。并计算h=600km时的末速度（重力加速度为）。(2)设一级火箭做垂直向上的直线运动，时刻的飞行速度为，质量为。初始质量为，其中为结构质量，为燃料的质

7、量，为搭载卫星的质量。火箭喷出的气体相对于火箭的速度为常数。忽略重力和空气阻力的影响，求飞行速度的计算模型。若，结构比，计算燃料耗尽时刻的末速度，并由此证明了什么？解：（1）设地球为均匀的球体，其质量为M全集中在地心卫星在地表时，地球对卫星的引力等于卫星的重量：（1）--1分卫星在离地面的距离为h的运行轨道上时，向心力=引力：（2）--3分由（1）式知：代入（2）式得：（3）--5分取，代入（3）得：--6分（2）火箭在到时刻的动量的增量=消耗掉的燃料喷出气体的动量（4）--7分上式两端取极限并化简得：解微分方程：得：（5

8、）--9分引入结构比：，则由知当火箭燃料消耗完毕时：此时火箭的末速度（6）--11分若火箭不搭载卫星（）则（7）--13取：，代入（7）式得：由于这说明：即使一级火箭不搭载任何质量，它自己本身就达不到能使卫星在离地面的距离为600km高度运行的最低末速度，也就证明了：用一级火箭发射卫星的不可能性。---