数学模型试题集与答案

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1、第1章建立数学模型事☆怎样解决下面的实际问题，包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等。（1）估计一批电饭煲的寿命；（2）一高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划。解:（1）从一批电饭煲中取一定数量的样本，测得其平均寿命，可作为该批电饭煲寿命的估计值。为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批电饭煲寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间。还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间。（2）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行

2、的楼层（有的从大厅直接运行到高层）。分析判断题☆有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。为尽量多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种.解：问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素：盘子的油腻程度，盘子的温度，盘子的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度；刷洗地点的温度等.☆某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈•若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性.解：根据题意可知：下一年病人数=当年患者数的一半+新患者.于是令X”

3、为从2000年起计算的斤年后患者的人数，可得到递推关系模型：得递推公式X曲=0.5X〃+1000+2000（1；）•由X。=1200,可以算出2005年时的患者数兀=1975人.由递推公式容易看出，X”是单调递增的正值数列，且X”T2000,故结论正确.☆中国的大学布局是否合理？这个问题引起了人们的关注.为了研究这个问题，人们认为有必要建立其数学模型给予分析，这个问题的建模要考虑许多的因素，那么你认为应该考虑哪些因素？至少列举出5条.答：中国大学布局合理与否，要与高等教育发达国家进行比较，需要这些国家的布局数据；问题与教育功能有关，譬如拉动周边经济作用、教育辐射

4、半径、扶持贫困地区教育发展力度等；在不同地区建立高等学校的基建投入的区别、交通是否便利、贫困地区学生能否就近上学等因素.☆有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有祛码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。解：先把苹果编号1〜12,把1〜4和5〜8放在天平两边：（1）两边持平：就在9〜12中，再把9和10放在天平两边，再平就在11或12中，若9和10不平，则在9或10中；（2）两边不平:假设1234重5678轻，则进行第二次称量125和349；若平了就在678中且是轻的，再称6与7即可；若125重349轻则在12

5、中且是重的，再称1与2即可；若125轻349重，则坏的是5o简单计算:d2y☆请将二阶非线性微分方程dt2一〃（1一于）^o=o,y（o）=i,y（o）=o化为一阶方程组。x=生解：令兀产y,2dt,“=7,则得到:和0）=1dx.—l=x2dt・丄=7(1-西2)占一西,左(0)=0、dt.常微分方程=0.Q2x(l-0.(Dlx),X0)=18的兀=1000/(1+9严血)☆至少使用两种方法求解下列微分方程模型:X(0)=兀0drr—=一（兀”一x）x=a{xm-x）x,解：方法一：分离变量法.变形为曲兀”dxadt,分离变量，得（心一劝兀x(f)=积分整理

6、，并代入初始条件，得1+（乩1）尹X。dxr9rx=—兀_方法二：将方程变形为dt心可见这是贝努利方程，两端遍除以疋,」eLtrx一rx=—有dz—才=＞空=-/竺-+rz=--令drd厂则方程变成dr心这是一阶线性方程，利用一阶线性方程的公式解法，便可以得到☆假设某个数学模型建成为如下形式:PM=Mx2-—[l-(l-^)2]er.xcr试在适当的假设下将这个模型进行简化.Y212-（1一二）X1一二,解：当°较小的时候，可以利用二项展开式将小括号部分简化为/2/p（v）=__兀e广从而有八2/.若国也很小，则可以利用ev-l+x将其进一步化简为〃)#(")・

7、简单应用题:☆如何调整工人的人数而保证产量不变?一工厂有兀名技术工人和y名非技术工人，每天可生产的产品产量/（兀刃=（件）。现有16名技术工人和32名非技术工人，而计划再雇佣1名技术工人，试问如何调整非技术工人的人数，可保证产品量不变?解：现在产量为/（16,32）=8192（件）对于任一给定值兀，每增加一名技术工人时歹的变化量即为这系数，曲线切线dy的斜率dx由隐函数存在定理,3/一ara/一3)因此非技术工人的变化量为ClxX妙=_4当兀=16,y=32时，d天因此，增加一个技术工而保持产量不变，就要相应地减少4名非技术工人。☆唐代大诗人王之涣有一首著名诗篇

8、：白日依山尽，黄河入海流