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1、第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是，用量纲分析方法确定风车获得的功率与、S、的关系.解:设、、S、的关系为，其量纲表达式为:[P]=,[]=,[]=,[]=,这里是基本量纲.量纲矩阵为：A=齐次线性方程组为：它的基本解为由量纲定理得 ，，其中是无量纲常数.16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.解：设,,,的关
2、系为,,,=0.其量纲表达式为[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=齐次线性方程组Ay=0，即的基本解为y=(-3,-1,1,1)由量纲定理得.，其中是无量纲常数.16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.解：设
3、,,,，的关系为.其量纲表达式为[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T0，[]=LM0T-2其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=齐次线性方程组Ay=0即的基本解为得到两个相互独立的无量纲量即.由,得,其中是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.解：设阻尼摆周期,摆长,质量,重力加
4、速度，阻力系数的关系为其量纲表达式为：，其中，，是基本量纲.量纲矩阵为A=齐次线性方程组的基本解为得到两个相互独立的无量纲量∴,,∴，其中是未定函数.考虑物理模拟的比例模型，设和不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为,；,;,.又当无量纲量时，就有.《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．解：设购买单位重
5、量货物的费用为,其它假设及符号约定同课本．对于不允许缺货模型，每天平均费用为： 令， 解得 由， 得与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．对于允许缺货模型，每天平均费用为： 令 ， 得到驻点： 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数，销售速率为常数，．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出贮存量的图形.设每次生产准备费为，单位
6、时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论和的情况.解：由题意可得贮存量的图形如下：O贮存费为又,贮存费变为于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为.,得易得函数取得最小值，即最优周期为：.相当于不考虑生产的情况..此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2（2008年10月16日）3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度与火势有关，可知火势越大，灭火速度将减小，我们作如下
7、假设:，分母而加的.总费用函数最优解为5．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本随时间增长，设，.又设单位时间的销售量为.今将销售期分为两段，每段的价格固定，记作.求的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为，再求的最优值.解：按分段价格，单位时间内的销售量为又.于是总利润为==,得到最优价格为:在销售期T内的总销量为于是得到如下极值问题：利用拉格朗日乘数法，解得：即为的最优值.第三章3（2008年10月21日）6.某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一
8、次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费＝2500（元）;每天每吨角钢的贮存费＝0.18（元）.又现在的订货周期T＝30（天）根据不允许缺货的贮存模型：得：令，解得：由实际意义知：当（即订货周期为）时，总费用将最小.又＝300＋100k=353．33＋100
