二维随机变量边缘密度ppt课件.ppt

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1、第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量及其分布第二节边缘分布第三节相互独立的随机变量第四节随机变量的函数的分布大纲要求：1了解二维随机变量的概念及其实际意义，理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。2理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系。3掌握二维均匀分布和二维正态分布。4理解随机变量的独立性。5会求二维随机变量的和、及多维随机变量的极值分布。6了解n维随机变量的概念及其分布。二、分布函数三、二维离散型随机变量四、二维连续型随机变量第一节二维随机变量一、多维随机变量一、多维随机变量1.定义：将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个n维向量(X1,X2,...,Xn)

2、称为n维随机变量。一维随机变量X——R1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标，多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律实例1炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量.二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例2考查某一地区学前儿童的发育情况,则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量(H,W).说明二、分布函数设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称F(x,y)=P{Xx,Yy}为(X,Y)的分布函数

3、，或X与Y的联合分布函数。对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1

4、体积等于1.3.说明OxyGp(x,y)例2(1)对任意的x＞0、y＞0，最后得到联合分布函数：0，其它。F(x，y)=(1－e－2x)(1－e－y),当x、y＞0(2)区域G={(x，y)

5、y≤x}表示的是直线y=x的下半部分，而联合密度函数只有在x，y同时都＞0才取值为2e－(2x＋y)。因此，P{Y≤X}实际上是函数2e－(2x＋y)在图中G0上的二重积分。4.两个常用的二维连续型分布(1)二维均匀分布若二维随机变量(X,Y)的密度函数为则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。易见，若（X，Y）在区域D上(内)服从均匀分布,对D内任意区域G，有其中，1、2为实数，1>0、

6、2>0、

7、

8、<1，则称(X,Y)服从参数为1,2,1,2,的二维正态分布，可记为(2)二维正态分布若二维随机变量(X,Y)的密度函数为1.二维随机变量的分布函数2.二维离散型随机变量的分布律3.二维连续型随机变量的分布函数小结解例1备份题例2一个袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以X,Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求X,Y的分布律.(X,Y)的可能取值为解故(X,Y)的分布律为二、离散型随机变量的边缘分布律三、连续型随机变量的边缘分布一、边缘分布函数四、小结3.2边缘分布一、边缘分

9、布函数为随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.二、离散型随机变量的边缘分布律例1已知(X,Y)的分布律，求其边缘分布律.注意联合分布边缘分布解三、连续型随机变量的边缘分布同理可得Y的边缘分布函数Y的边缘概率密度.解例2例3设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，求关于X和关于Y的边缘概率密度.x=yx=-y例4解由于于是则有即同理可得二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,请同学们思考边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?不一定.举一反例以示证明.答因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.一、定义3.3相互独立的随机变量二、小结

10、两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.设X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.定义用分布函数表示,即设X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.其中是X,Y的联合密度，成立，则称X,Y相互独立.若对任意的x,y,有若(X,Y)是连续型随机变量,则上述独立性的定义等价于：分别是