第10讲锐角三角函数.doc

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1、第十讲锐角三角函数【趣题引路】甲、乙两名运动员在陆地赛跑的速度以及在水中游泳的速度都相同.有一次他俩进行赛跑和游泳综合测试,比赛路线如图所示,陆地跑道与河岸所成的角为30°,水路泳道与河岸所成的角为60°,甲赛跑、游泳的线路是折线AA1A2,乙赛跑、游泳的线路是折线BB1B2,起跑点的连线与线路垂直,终点连线也与线路垂直,开始两人并肩跑,甲先到岸边跳入水中,接着乙再到岸边,在水中两人齐头并进同时到达终点,你知道他们在陆地上的跑步速度V1与水中游泳的速度V2之比是多少吗?解析如图,作A1B3⊥BB1,B1A3⊥A1A

2、2,垂足分别为A3、B3.因两人在陆地上赛跑的速度相同,故甲跑完AA1与乙跑完BB3所用时间相同.同样,甲游完A3A2所花时间与乙游完B1B2所花时间也相同.又因为两人从出发至到达终点所花的总时间相同,所以甲游完A1A3的时间恰好等于乙跑完B3B1的时间,设这个时间为t,则:t=.∴=,……①,在Rt△A1B3B1中,cos30°=,∴B1B3=A1B1,……②,在Rt△A1A3B1中,cos60°=,∴A1A3=A1B1,……③.由上述三式得:==.【知识延伸】“锐角三角函数”中我们学习了锐角的正弦、余弦、正切,

3、余切以及一些特殊角的三角函数值的有关计算.在解与锐角三角函数有关的问题时,还要充分利用其余角和同角函数关系,我们知道,在Rt△ABC中,sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A),tanA=(90°-A),cotA=tan(90°-A).这是互余两角的三角函数关系.同时,同角三角函数间也存在着一些特殊的关系.如图，在Rt△ABC中,∵sinA=,cosA=,∴sin2A=,cos2A=,且a2+b2=c2.∴sin2A+cos2A=1,像这样的同角三角函数关系还有:tanA·cotA=1,tan

4、A=，cotA=。另外,锐角三角函数还有两个非常重要的性质:1.单调性.当a为锐角时,sina与tana的值随a的增大而增大,cosa与cota的值随a增大而减小;2.有界性.当0≤a≤90°时,0≤sina≤1,0≤cosa≤1.例1在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=tanB,求cosA的值.解析在Rt△ABC中,∵∠A+∠B=90,∴tanB=cotA.∵sinA=tanB,∴sinA=cotA.∵cotA=,∴sinA=即sin2A=cosA.∵sin2A+cos2A=1,∴cos2A+cosA=1

5、.解得:cosA=∵0

6、A.∴sinA+cosA=,①sinA.cosA=,②∵sin2A+cos2A=1,∴(sinA+cosA)2-2sinA·cosA=1.③将①、②代入③,得（）2-2·=1.解得:m1=,m2=-.∵0

7、方程.最后注意验根.【好题妙解】佳题新题品味例1试运用三角函数的定义,求sin15°,cos15°,tan15°,cot15°的值.解析如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB到D,使BD=BA,则∠ADB=15°.令AC=x,则BC=x,AB=2x,AD==(+)x.∴sin15°=sin∠ADB=cos15°=cos∠ADB=.tan15°=tan∠ADB==2-.cot15°=cot∠ADB==2+.点评求某些特殊角的函数值的基本方法:构造一个直角三角形,使它的一个内角为所需求值的角的

8、度数,再推导出三边关系,最后运用三角函数定义求解.例2如图,从Rt△ABC的直角顶点C作斜边AB的三等分点,连结CE、CF,已知CE=sina,CF=cosa(a为锐角),求AB的长.解析分析过E、F作EM⊥AC,FN⊥AC,垂足分别为M、N.设AC=b,BC=a,则因BE=EF=FA,则:EM=a,FN=a,CM=b,CN=b.在Rt△CEM中,EM2+C