第二节对坐标的曲线积分.doc

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1、第二节对坐标的曲线积分教学目的：了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的计算法和应用教学重点：对坐标曲线积分的计算教学难点：对坐标曲线积分的计算教学时间：2课时教学过程：一、对坐标的曲线积分定义和性质1．引例变力沿曲线所作的功设一个质点在xOy面内在变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,试求变力F(x,y)所作的功.将L分成n个小弧段:L1,L2,×××,Ln;　变力在Li上所作的功近似为　　　F(xi,hi)·Dsi=P(xi,hi)Dxi+

2、Q(xi,hi)DyiDsi={Dxi,Dyi}表示从Li的起点到其终点的的向量，Dsi表示Dsi的模.变力在L上所作的功近似为;变力在L上所作的功的精确值为,其中l是各小弧段长度的最大值.2．对坐标的曲线积分定义定义设函数，在有向光滑曲线L上有界.把L分成n个有向小弧段L1,L2,×××,Ln;小弧段Li的起点为(xi-1,yi-1),终点为(xi,yi),Dxi=xi-xi-1,Dyi=yi-yi-1;(xi,h)为Li上任意一点,l为各小弧段长度的最大值.如果极限总存在,则称此极限为函数在有向曲线L上对坐

3、标x的曲线积分,记作,即,如果极限总存在,则称此极限为函数在有向曲线L上对坐标的曲线积分,记作,即其中，称为被积函数，称为积分弧段，对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分.　同样可以定义积分弧段为空间有向曲线弧的情形：常记　　.例如，变力＝＋在L上所作的功为　　　　　＝３．对坐标的曲线积分的存在性当在有向光滑曲线弧上连续时，对坐标的曲线积分，都存在．４．对坐标的曲线积分的性质（１）为有向曲线弧，为与方向相反的曲线，则=，=（２）设=，则=+此性质可推广到=组成的曲线上．二、对坐标的曲线积分计算定理设，在上有定义，且

4、连续,当单调地从变到时，点从的起点沿变到终点，且在以，为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，则存在，且=注意：为起点对应参数，为终点对应参数，不一定小于；思考：（１）若由给出，，则？提示　　　（２）若空间曲线G由参数方程：x=j(t),y=y(t),z=w(t)给出,那么曲线积分=？提示:,其中a对应于G的起点,b对应于G的终点.例1计算：：摆线，从点到点。解原式====例2：（1）曲线起点为，终点为.（2）折线起点为，终点为.解（1）原式==（2）原式===1故一般来说，曲线积分当起点、终点固定时，与路径有关

5、　　　　图10-2-1例３.计算,其中G是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段.解:直线AB的参数方程为x=3t,y=2t,x=t,t从1变到0.所以所以.例４　设有一质量为的质点受重力作用在铅直平面上沿某一曲线从点移动到点，求重力所作的功。解：取水平直线为轴，轴铅直向上，则重力在两坐标轴上的投影分别为，这里是重力加速度，于是，当质点从移动到点时，图10-2-3重力所作的功为．这结果表明，这里重力所作的功与路径无关，而且仅取决于下降的距离．例６.计算.(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=

6、a2;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段.解(1)L的参数方程为x=acosq,y=asinq,q从0变到p.因此.(2)L的方程为y=0,x从a变到-a.因此.三、两类曲线积分的关系设有向曲线弧的起点终点取弧长为曲线弧的参数。则若在上具有一阶连续导数，在上连续，则=图10-2-4=其中，是的切线向量的方向余弦，且切线向量与的方向一致，又=∴=类似地有,或.其中A={P,Q,R},T={cosa,cosb,cosg}为有向曲线弧G上点(x,y,z)处单位切向量,dr=Tds={dx,dy,d

7、z},At为向量A在向量t上的投影.小结与思考：1.对坐标的曲线积分概念和性质2.对坐标的曲线积分的计算方法：化为定积分计算若平面曲线的参数方程为：x=j((t),y=y(t),z=w(t)=若空间曲线G的参数方程为：x=j((t),y=y(t),z=w(t),3.两类曲线积分的关系=4.[启发与讨论]计算，其中为（1）抛物线上从到一段弧。（2）抛物线上从到的一段弧。（3）有向折线，这里依次是点，，解：(3)原式结论：起点，终点固定，沿不同路径的积分值相等。图10-2-2注意：沿不同的积分路径，积分值相同。这是

8、为什么？积分路径沿平行于轴、轴的直线段或折线段时，计算简单。作业：练习册10.2