反常积分的概念ppt课件.ppt

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1、第一节反常积分的概念第二节无穷积分的性质与收敛判别第三节瑕积分的性质与收敛判别第十一章反常积分第一节反常积分的概念一、问题提出例1（第二宇宙速度）在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？例2圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔，试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？二、两类反常积分的定义例1计算广义积分解例2计算广义积分解证定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.例４计算广义积分解证例５证明广义积分ò101dxxq当1

2、函数的广义积分（瑕积分）无穷限的广义积分（注意：不能忽略内部的瑕点）三、小结第二节　无穷积分的性质与收敛判别一、无穷积分的性质定理11.1（柯西准则）无穷积分收敛的充要条件是：任给只要便有性质1若与都收敛，为任意常数，则也收敛，且性质2若在任何有限区间上可积，则与同敛态，且有性质3若在任何有限区间上可积，且有收敛，则亦收敛，并有定义：当收敛时，称为绝对收敛，称收敛而不绝对收敛为条件收敛。注：绝对收敛的无穷积分，它本身也一定收敛。但逆命题一般不成立。二、比较判别法不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法.由定理，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理．收敛．上有界，

3、则广义积分在．若函数且上连续，在区间定理　设函数òò¥++¥=³+¥axadxxfadttfxFxfaxf)(),[)()(0)(),[)(证也发散．发散，则且并也收敛；如果收敛，则并且上连续，如果区间在、设函数(比较法则)定理òòòò¥+¥+¥+¥++¥<£££+¥<£££+¥aaaadxxfdxxgxaxfxgdxxfdxxgxaxgxfaxgxf)()(),()()(0)()(),()()(0),[)()(11.2由定理知例如，例１解根据比较审敛法１，推论1若与都在任何上可积，且则有：（1）当时，与同敛态；（2）当时，由收敛可推知也收敛；（3）当时，由发散可推知也发散。推论2设

4、定义于且在任何有限区间上可积，则有：（1）当且时收敛；（2）当且时发散。推论3设定义于且在任何有限区间上可积，且则有：（1）当时，收敛；（2）当时，发散。例２解所给广义积分收敛．例３解故所给广义积分发散．例４解故所给广义积分发散．三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法定理11.3（狄利克雷判别法）若在上有界，在上当时单调趋于0，则收敛。定理11.4（阿贝尔判别法）若收敛，在上单调有界，则收敛。例5讨论的收敛性。解：（1）当时绝对收敛。这是因为：而当时收敛，故有比较法则推知收敛。（2）当时条件收敛。这是因为对任意，有而当时单调趋于0，故由狄利克雷判别法推知当时总是收敛的。另一方面，由于其中满

5、足狄利克雷判别法故收敛，而是发散的，因此当时该无穷积分不是绝对收敛的，所以它是条件收敛的。例6证明下列无穷积分都是条件收敛的：证明：分别换元结合例5即证。第三节　瑕积分的性质与收敛判别一、无穷积分的性质定理11.5（柯西准则）无穷积分收敛的充要条件是：任给只要便有性质2若的瑕点为为任一常数。则与同敛态，且有性质1设函数与都收敛为常数，则当瑕积分也收敛，并有：的瑕点同为与时,瑕积分性质3若上可积，则当收敛时，亦收敛，并有定义：当收敛时，称为绝对收敛，称收敛而不绝对收敛为条件收敛。注：绝对收敛的无穷积分，它本身也一定收敛。但逆命题一般不成立。的瑕点为在的任一内闭区间二、比较判别法定理11

6、.6（比较法则）设定义在上的两个函数与，瑕点同为在任何上都可积，且满足：则当收敛时，必定收敛。当发散时，必定发散。推论1若且则有：（1）当时，与同敛态；（2）当时，由收敛可推知也收敛；（3）当时，由发散可推知也发散。推论2设定义于为瑕点，且在任何上可积，则有：（1）当且时，收敛；（2）当且时，发散。推论3设定义于上可积，且则有：（1）当时，收敛；（2）当时，发散。例1解所给瑕积分收敛．为瑕点，且在任何例２讨论反常积分的收敛性。解：把反常积分写成：（1）先讨论，当即时它是定积分；当时它是瑕积分，瑕点为由于根据比较法则推论3知，当即且时，瑕积分收敛；当即且时，瑕积分发散。（2）再讨论，它

7、是无穷积分。由于根据比较法则知，当即且时，收敛；而当即且时，发散。综上所述，把讨论结果列如下表：发散收敛定积分收敛收敛发散发散收敛发散由此可见，反常积分只有当时才是收敛的。