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时间:2020-09-25
《高中数学竞赛讲座抽屉原理.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、抽屉原理抽屉原理又叫重叠原则或鸽原则,抽屉原则有如下几种情形。抽屉原则I把件东西任意放入n只抽屉里,那么至少有一个抽屉里有两件东西。抽屉原则II把件东西放入个抽屉里,那么至少有一个抽屉里至少有件东西。抽屉原则III如果有无穷件东西,把它们放在有限多个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含无穷件东西。利用抽屉原则解题时,其关键是如何利用题中已知条件构造出与题设密切相关的“抽屉”,下面通过例子说明抽屉原则的应用。例1.在边长为1的正方形内任意放置5个点,试证:其中必有两个点,它们之间的距离不大于。证明:将边长为1的正方形
2、划分成如图所示的四个边长为的小正方形,则每个小正方形中任意两点间的距离不大于,据抽屉原理:5个点放入四个正方形中,其中至少有一个正方形中至少有2个点,则这两个点间的距离不大于。例2.证明:边长为1的的正三角形内任意放置5个点,其中必有两点,其距离不超过。证明:将边长为1的正三角形的各边中点连结起来,得到四个小正三角形,则每个小正三角形中任意两点间的距离不大于,据抽屉原理:5个点放入4个小正三角形中,其中至少有一个小正三角形中至少有2个点,则这两个点间的距离不超过。例3.在边长为1的正方形中有任意九个点。试证:
3、在以这些为顶点的各个三角形中,至少有一个三角形,其面积不大于。证明:将边长为1的正方形划分为如图所示的4个的小长方形,9个点放入4个小长方形中,则必有一个长方形中放入了至少3个点,设为,则三角形ABC的面积不大于过,证明如下:A作边的平行线交BC于,则:。例4.求证:任给五个整数,必能从中选出三个,使得它们的和能被3整除。证明:因为任意一个整数被3除的余数只能是0,1,2,若任给的5个整数被3除的余数中0,1,2都出现,则余数为0,1,2的三个整数之和能被3整除;若5个数被3除的余数只出现0,1,2中的两个,
4、则据抽屉原理知:必有3个整数的余数相同,而余数相同的3个数之和能被3整除。故任给五个整数,必能从中选出三个,使得它们的和能被3整除。例5.求证:在中任选20个不同的整数,其中必有二整数之和为104。证明:将这34个自然数分成如下18个集合:,从中任选20个数,即从上述18个集合中选20个数,则必有一个集合中选了2个数,而这两个数的和为104。例6.设是自然数随意打乱次序重新排列而成的一串数,是奇数。证明:总是偶数。证明:因为奇数,设,则中共有个奇数,从而,中共2()=个奇数,这个奇数放入个括号中,则必有一个括
5、号中的两个数均为奇数,从而这两个数之差为偶数,所以总是偶数。例7.求证:对于任给的1987个自然数,从中总可以找到若干个数,使它们的和能被1987整除。证明:构造如下1987个和:,若其中有一个和能被1987整除,则结论成立。否则上述1987个和除以1987的余数只能为,则其中必有两个和的余数相同,设为,(,则能被1987整除。例8.在任意一次集会中,其中必有两个人,他们认识的人一样多,试证明之。证明:设参加集会的共有个人,制造如下抽屉:认识的人的人数为0的人属于集合;认识的人的人数为1的人属于集合;认识的人
6、的人数为2的人属于集合,…;认识的人的人数为的人属于集合这里得到个集合,可以证明,中至少有一个集合为空集。若中有一个元素,则其余个人最多认识个人,所以为空集;同理可证:若中有一个元素,则为空集。所以上述个集合,其实至多只有个集合。个人放入个集合中,其中必有一个集合中有两个人,结论得证。例9.证明:在全世界所有人中任选六个人,其中一定有三个人,他们之间或者互相认识,或者互相不认识。证明:从6个人中任一个人记为,则其余5个同A或者认识,或者不认识,据抽屉原理:其中必有三个人同A认识,或者不认识;若有三个人同A认识
7、,则这三个人或者互不认识,则结论成立。或者有两个人相互认识,则这两个人同A三人互相认识。若有三个人同A不认识,则这三个人或者互相认识,则结论成立,或者有两个人互不认识,则这两个人同A三人互不认识。结论成立。例10.平面上有1987个点,任取三个点都有两点的距离小于1。求证:存在半径为1的圆,它至少盖住994个点。证明:在所给的1987个点中任选一点,记为,以为圆心作一个半径为1的圆,若其余的1986个点都在圆内,则结论成立;否则,在圆外的点中任一点,记为,以为圆心作一个半径为1的圆,则除去之外的其余1985个
8、点必在圆或圆内,否则,至少存在一点在圆或圆的外部,则三点任两点间的距离均大于1,与条件矛盾,所以除去之外的其余1985个点必在圆或圆内。据抽屉原理:必有一个圆内至少有个点,加上圆心共994个点。知结论成立。例11.十七个科学家,其中每一个和其他所有的人都通信。在他们的通信中,只讨论三个题目,而且每两个科学家之间只讨论一个题目。求证:至少有三个科学家相互之间在讨论同一个题目。证明:在17位科学家中任选
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