初一数学竞赛系列讲座(14)抽屉原理.doc

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1、初一数学竞赛系列讲座(14)抽屉原理一、知识要点1、抽屉原理1把n+1个东西，任意地分放到n个抽屉里，那么必有一个抽屉里有2个东西。2、抽屉原理2把m个东西，任意地分放到n个抽屉里，那么必有一个抽屉里至少有k个东西。其中的整数部分。3、上述二个原理统称为抽屉原理。抽屉原理虽然简单、浅显，却是解决很多存在性问题的有力工具。利用抽屉原理解题的一般步骤是：(1)构造抽屉，指出东西；(2)将东西放入抽屉，或从抽屉里取出；(3)说明理由，得出结论。二、例题精讲例1用2种颜色涂3行9列共27个小方格，证明：不论如何涂色，其中必至少有两列，它

2、们的涂色方式相同.分析：把用两种颜色涂１×３的小方格的方法当作抽屉。解：用两种颜色涂１×３的小方格共有８种方法．现有９列，由抽屉原理，必有两列涂法一样．评注：用抽屉原理解题的关键在于构造抽屉，另外还要搞清什么是抽屉？什么是东西？例2已知一个圆。经过圆心任意作993条直径，它们与圆共有1986个交点，在每个交点处分别填写从1到496中的一个整数(可重复填写)。证明：一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等。(第二届迎春杯决赛试题)分析：直径两端的数都在1到496之间，所以它们两端的数的和在2到992之间，则可构造991只抽屉，而

3、东西有993个，因而得到证明。证明：直径两端的数都在1到496之间，所以直径两端的数的和≥2，且≤992所以，这种和只有991种。而直径有993条，993>991，所以一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等。评注：由解题过程知本题将“993条直径”改为“992条直径”结论仍然成立。如果将结论改为“可以找到两条直径，它们两端的数的和相等”，那么条件“经过圆心任意作993条直径”就要改为“经过圆心任意作1983条直径”。例3夏令营组织1987名营员去游览故宫、景山公园、北海公园，规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游

4、览的地方完全相同？试证明你的结论。(第二届迎春杯决赛试题)分析：将游览方案当作抽屉，将人当作东西，由抽屉原理可得结论。解：去一处的可能有3种(故宫、景山公园、北海公园)，去两处的可能也有3种(故宫与景山公园、北海公园与故宫、景山公园与北海公园)，由于每人最少去一处，最多去两处游览，所以游览方案共有6种。因此，1987个人中至少有个人游览的地方完全相同。例4在1，4，7，…，100中任选20个不同的数。证明其中至少有4个数a、b、c、d，使a+b=c+d=104.(第39届普特南数学竞赛试题)分析：考虑和为104的数对。如果两个数

5、取自同一个数对，则它们的和必是104，所以应当将和为104的数对作为抽屉。解：将1，4，7，…，100这34个数，去掉1与52，分成16个数对：{4，100}，{7，97}，…，{49，55}，显然每个数对中两数的和为104所取的20个数中，至少有18个取自这16个数对，则根据抽屉原理，其中必有两个数a、b在同一数对中，它们的和a+b=104。剩下的16个数，取自其余的15个数对，同样根据抽屉原理，其中必有两个数c、d在同一数对中，它们的和c+d=104。所以其中至少有4个数a、b、c、d，使a+b=c+d=104.评注：本题两

6、次使用了抽屉原理。例5910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶，证明：不论怎样排列，红蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一种：（1）至少有三行完全相同；（2）至少有两组（四行）每组的两行完全相同.（北京1990年高一竞赛）解：910瓶红、蓝墨水排成130行，每行7瓶，对一行来说，每个位置上有红蓝两种可能，因此，一行的红、蓝墨水排法有27=128种，对每一种不同排法设为一种“行式”，共有128种行式.现有130行，在其中任取129行，依抽屉原则知，必有两行A、B行式相同.除A、B外余下128行，若有一行P与A行式相同，知满

7、足（1）至少有三行A、B、P完全相同，若在这128行中设直一行5A行或相同，那么这128行至多有127种行式，依抽屉原则，必有两行C、D具有相同行式，这样便找到了（A、B），（C、D）两组（四行），且两组两行完全相同.例6从自然数1，2，3，…99，100这100个数中随意取出51个数来，求证：其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的倍数.分析：设法制造抽屉，使它们符合如下条件：（1）不超过50个；（2）每个抽屉的里的数（除仅有的一个外），其中一个数是另一个数的倍数。一个自然的想法是从数的质因数表示形式入手。解：设第一个抽屉里放

8、进数：1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26；第二个抽屉时放进数：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25；第三个抽屉里放进数：5，5×2，5×22，5×23，5×24；…………第二十五个抽屉里放进数：49，49×2；第二十六个抽