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《初一数学竞赛系列讲座抽屉原理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、初一数学竞赛系列讲座(14)抽屉原理•、知识要点1、抽屉原理1把n+l个东西,任意地分放到n个抽屉里,那么必冇一个抽屉里冇2个东西。2、抽屉原理2把m个东西,任意地分放到n个抽屉里,那么必有一个抽屉里至少有k个东西。其中是“的倍数时)或“凹+1(当加不是加勺倍数时),凹表示巴n」的整数部分。3、上述二个原理统称为抽屉原理。抽屉原理虽然简单、浅显,却是解决很多存在性问题的冇力工具。利用抽屉原理解题的一般步骤是:(1)构造抽屉,指出东西;⑵将东西放入抽屉,或从抽屉里収岀;(3)说明理由,得出结论。二、例题精讲例1用2种颜色涂3行9列共27个小方格,证明:不
2、论如何涂色,其中必至少冇两列,它们的涂色方式相同.分析:把用两种颜色涂1x3的小方格的方法当作抽屉。解:用两种颜色涂1x3的小方格共有8种方法.现有9列,由抽屉原理,必有两列涂法一•样.评注:用抽屉原理解题的关键在于构造抽屉,另外还要搞清什么是抽屉?什么是东西?例2己知一个圆。经过圆心任意作993条直径,它们与圆共有1986个交点,在每个交点处分别填写从1到496中的一个整数(可重复填写)。证明:一定可以找到两条直径,它们两端的数的和相等。(第二届迎春杯决赛试题)分析:直径两端的数都在1到496Z间,所以它们两端的数的和在2到992Z间,则可构造991
3、只抽屉,而东西有993个,因而得到证明。证明:直径两端的数都在1到496Z间,所以直径两端的数的和22,且W992所以,这种和只冇991种。而直径有993条,993>991,所以一定可以找到两条直径,它们两端的数的和相等。评注:由解题过程知本题将“993条直径”改为“992条直径”结论仍然成立。如果将结论改为“可以找到两条直径,它们两端的数的和相等”,那么条件“经过圜心任意作993条直径”就要改为“经过圆心任意作1983条直径”。例3夏令营组织1987名营员去游览故宫、景山公园、北海公园,规定每人最少去一处,最多去两处游览,至少有几个人游览的地方完全相
4、同?试证明你的结论。(第二届迎春杯决赛试题)分析:将游览方案当作抽屉,将人当作东西,由抽屉原理町得结论。解:去一处的可能有3种(故宫、景山公园、北海公园),去两处的可能也有3种(故宫与景山公园、北海公园与故宫、景山公园打北海公园),由于每人最少去一处,最多去两处游览,所以游览方案共有6种。因此1987个人中至少有[罟]二332个人游览的地方完全相同。例4在1,4,7,…,100中任选20个不同的数。证明其中至少有4个数a、b、c、d,使a+b=c+d=104.(第39届普特南数学竞赛试题)分析:考虑和为104的数对。如果两个数取自同一个数对,则它们的和
5、必是204,所以应当将和为104的数对作为抽屉。解:将1,4,7,…,100这34个数,去掉1与52,分成16个数対:{4,100},{7,9刀,…,{49,55},显然每个数对屮两数的和为104所取的20个数中,至少有18个取自这16个数对,则根据抽屉原理,其中必有两个数a、b在同一数对中,它们的和a+b=104o剩下的16个数,取自其余的15个数对,同样根据抽屉原理,英中必有两个数c、d在同一数对中,它们的和c+d=104o所以其中至少有4个数a、b、c、d,使a+b=c+d=104.评注:本题两次使用了抽屉原理。例5910瓶红、监墨水,排成130
6、行,每行7瓶,证明:不论怎样排列,红蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一种:(1)至少有三行完全相同;(2)至少有两组(四行)每组的两行完全相同.(北京1990年高一竞赛)解:910瓶红、蓝墨水排成130行,每行7瓶,对一行来说,每个位置上有红蓝两种可能,因此,一行的红、蓝墨水排法有27=128种,对每一种不同排法设为一种“行式〃,共有128种行式.现有130行,在其中任取129行,依抽屉原则知,必有两行A、B行式相同.除A、B外余K128行,若有一行P与A行式相同,知满足(1)至少有三行A、B、P完全相同,若在这128行中设直一行5A行或相同,
7、那么这128行至多有227种行式,依抽屉原则,必有两行C、D具有相同行式,这样便找到了(A、B),(C、D)两组(四行),且两组两行完全相同.例6从自然数1,2,3,...99,100这100个数屮随意取出51个数来,求证:具中一定有两个数,它们中的一个是另一个的倍数.分析:设法制造抽屉,使它们符合如下条件:(1)不超过50个;(2)每个抽屉的里的数(除仅有的一个外),其中一个数是另一个数的倍数。一个口然的想法是从数的质因数表示形式入手。解:设第一个抽屉里放进数:1>1x2,Ix22,lx21x2役lx25,lx26;第二个抽屉时放进数:3,3x2,
8、3x22,3x23,3x24,3x25;笫三个抽屉里放进数:5,5x2,5x22,5x23,5