高中数学竞赛讲座：抽屉原理

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1、抽屉原理抽屉原理又叫重叠原则或鸽原则，抽屉原则有如下几种情形。抽屉原则I把件东西任意放入n只抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两件东西。抽屉原则II把件东西放入个抽屉里，那么至少有一个抽屉里至少有件东西。抽屉原则III如果有无穷件东西，把它们放在有限多个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含无穷件东西。利用抽屉原则解题时，其关键是如何利用题中已知条件构造出与题设密切相关的“抽屉”，下面通过例子说明抽屉原则的应用。例1．在边长为1的正方形内任意放置5个点，试证：其中必有两个点，它们之间的距离不大于。证明：将边长为1的正方形划分成如图所示的四个边长为的小正方形

2、，则每个小正方形中任意两点间的距离不大于，据抽屉原理：5个点放入四个正方形中，其中至少有一个正方形中至少有2个点，则这两个点间的距离不大于。例2．证明：边长为1的的正三角形内任意放置5个点，其中必有两点，其距离不超过。证明：将边长为1的正三角形的各边中点连结起来，得到四个小正三角形，则每个小正三角形中任意两点间的距离不大于，据抽屉原理：5个点放入4个小正三角形中，其中至少有一个小正三角形中至少有2个点，则这两个点间的距离不超过。例3．在边长为1的正方形中有任意九个点。试证：在以这些为顶点的各个三角形中，至少有一个三角形，其面积不大于。证明：将边

3、长为1的正方形划分为如图所示的4个的小长方形，9个点放入4个小长方形中，则必有一个长方形中放入了至少3个点，设为,则三角形ABC的面积不大于过，证明如下：A作边的平行线交BC于，则：。例4．求证：任给五个整数，必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除。证明：因为任意一个整数被3除的余数只能是0，1，2，若任给的5个整数被3除的余数中0，1，2都出现，则余数为0，1，2的三个整数之和能被3整除；若5个数被3除的余数只出现0，1，2中的两个，则据抽屉原理知：必有3个整数的余数相同，而余数相同的3个数之和能被3整除。故任给五个整数，必能从中选出三个，

4、使得它们的和能被3整除。例5．求证：在中任选20个不同的整数，其中必有二整数之和为104。证明：将这34个自然数分成如下18个集合：，从中任选20个数，即从上述18个集合中选20个数，则必有一个集合中选了2个数，而这两个数的和为104。例6．设是自然数随意打乱次序重新排列而成的一串数，是奇数。证明：总是偶数。证明：因为奇数，设，则中共有个奇数，从而，中共2（）=个奇数，这个奇数放入个括号中，则必有一个括号中的两个数均为奇数，从而这两个数之差为偶数，所以总是偶数。例7．求证：对于任给的1987个自然数，从中总可以找到若干个数，使它们的和能被198

5、7整除。证明：构造如下1987个和：，若其中有一个和能被1987整除，则结论成立。否则上述1987个和除以1987的余数只能为，则其中必有两个和的余数相同，设为，（，则能被1987整除。例8．在任意一次集会中，其中必有两个人，他们认识的人一样多，试证明之。证明：设参加集会的共有个人，制造如下抽屉：认识的人的人数为0的人属于集合；认识的人的人数为1的人属于集合；认识的人的人数为2的人属于集合，…；认识的人的人数为的人属于集合这里得到个集合，可以证明，中至少有一个集合为空集。若中有一个元素，则其余个人最多认识个人，所以为空集；同理可证：若中有一个元

6、素，则为空集。所以上述个集合，其实至多只有个集合。个人放入个集合中，其中必有一个集合中有两个人，结论得证。例9．证明：在全世界所有人中任选六个人，其中一定有三个人，他们之间或者互相认识，或者互相不认识。证明：从6个人中任一个人记为，则其余5个同A或者认识，或者不认识，据抽屉原理：其中必有三个人同A认识，或者不认识；若有三个人同A认识，则这三个人或者互不认识，则结论成立。或者有两个人相互认识，则这两个人同A三人互相认识。若有三个人同A不认识，则这三个人或者互相认识，则结论成立，或者有两个人互不认识，则这两个人同A三人互不认识。结论成立。例10．平

7、面上有1987个点，任取三个点都有两点的距离小于1。求证：存在半径为1的圆，它至少盖住994个点。证明：在所给的1987个点中任选一点，记为，以为圆心作一个半径为1的圆，若其余的1986个点都在圆内，则结论成立；否则，在圆外的点中任一点，记为，以为圆心作一个半径为1的圆，则除去之外的其余1985个点必在圆或圆内，否则，至少存在一点在圆或圆的外部，则三点任两点间的距离均大于1，与条件矛盾，所以除去之外的其余1985个点必在圆或圆内。据抽屉原理：必有一个圆内至少有个点，加上圆心共994个点。知结论成立。例11．十七个科学家，其中每一个和其他所有的人

8、都通信。在他们的通信中，只讨论三个题目，而且每两个科学家之间只讨论一个题目。求证：至少有三个科学家相互之间在讨论同一个题目。证明：在17位科学家中任选