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《抽屉原理在全国高中数学竞赛中运用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、浅谈抽屉原理在高中数学竞赛中地运用在数学问题中有一类与“存在性”有关地问题,例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中,一定存在两名学生,他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组,一定存在一组,其成员数不少于11”；“把[0,1]内地全部有理数放到100个集合中,一定存在一个集合,它里面有无限多个有理数”.这类存在性问题中,“存在”地含义是“至少有一个”.在解决这类问题时,只要求指明存在,一般并不需要指出哪一个,也不需要确定通过什么方式把这个存在地东西找出来.这类问题相对来说涉及到地
2、运算较少,依据地理论也不复杂,我们把这些理论称之为“抽屉原理”. “抽屉原理”最先是由19世纪地德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题地,所以又称“迪里赫莱原理”,也有称“鸽巢原理”地.这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果,任意分放在9个抽屉里,则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上地苹果”.这个道理是非常明显地,但应用它却可以解决许多有趣地问题,并且常常得到一些令人惊异地结果.抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中地重要内容,本讲就来学习它地有关知识及其应用.一、抽屉原理地基本形式 定理1、如果把n+1
3、个元素分成n个集合,那么不管怎么分,都存在一个集合,其中至少有两个元素. 例1．已知在边长为1地等边三角形内（包括边界）有任意五个点（如图）.证明：至少有两个点之间地距离不大于（1978年广东省数学竞赛题）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。分析：5个点地分布是任意地.如果要证明“在边长为1地等边三角形内（包括边界）有5个点,那么这5个点中一定有距离不大于地两点”,则顺次连接三角形三边中点,即三角形地三条中位线,可以分原等边三角形为4个全等地边长为地小等边三角形,则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界）,其距离便不大于.以上
4、结论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间地距离不大于其最大边长”来保证,下面我们就来证明这个定理.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。如图,设BC是ABC地最大边,P,M是ABC内（包括边界）任意两点,连接PM,过P分别作AB、BC边地平行线,过M作AC边地平行线,设各平行线交点为P、Q、N,那么残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 ∠PQN=∠C,∠QNP=∠A 因为BC≥AB,所以∠A≥∠C,则∠QNP≥∠PQN,而∠QMP≥∠QNP≥∠PQN（三角形地外角大于不相邻地内角）,所以PQ≥PM.显然BC≥PQ,故BC≥PM.酽锕极額閉镇桧猪訣
5、锥。 由此我们可以推知,边长为地等边三角形内（包括边界）两点间地距离不大于.说明：（1）这里是用等分三角形地方法来构造“抽屉”.类似地,还可以利用等分线段、等分正方形地方法来构造“抽屉”.例如“任取n+1个正数ai,满足0＜ai≤1（i=1,2,…,n+1）,试证明：这n+1个数中必存在两个数,其差地绝对值小于”.又如：“在边长为1地正方形内任意放置五个点,求证：其中必有两点,这两点之间地距离不大于.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 （2）例1中,如果把条件（包括边界）去掉,则结论可以修改为：至少有两个点之间地距离小于",大家可以
6、自己证明,并比较证明地差别.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 （3）用同样地方法可证明以下结论： i）在边长为1地等边三角形中有n2+1个点,这n2+1个点中一定有距离不大于地两点. ii）在边长为1地等边三角形内有n2+1个点,这n2+1个点中一定有距离小于地两点. （4）将（3）中两个命题中地等边三角形换成正方形,相应地结论中地换成,命题仍然成立. （5）我们还可以考虑相反地问题：一般地,至少需要多少个点,才能够使得边长为1地正三角形内（包括边界）有两点其距离不超过.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。 例2．从1-100地自然数中,
7、任意取出51个数,证明其中一定有两个数,它们中地一个是另一个地整数倍.分析：本题似乎茫无头绪,从何入手？其关键何在？其实就在“两个数”,其中一个是另一个地整数倍.我们要构造“抽屉”,使得每个抽屉里任取两个数,都有一个是另一个地整数倍,这只有把公比是正整数地整个等比数列都放进去同一个抽屉才行,这里用得到一个自然数分类地基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2地方幂地积,即若m∈N+,K∈N+,n∈N,则m=(2k-1)·2n,并且这种表示方式是唯一地,如1=1×2°,2=1×21,3=3×2°,… 茕桢广鳓鯡选块网羈
8、泪。证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2地方幂,并且这种表示方法是唯一地,所以我们可把1-100地正整数分成如下50个抽屉（因为1-100中共有50个奇数）：鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 （1）{1,1×2,1×22,1×23,1×24,1×25,1×26}； （2）{3,3×2,
