浅谈抽屉原理在高中数学竞赛中的运1

《浅谈抽屉原理在高中数学竞赛中的运1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、浅谈抽屉原理在高中数学竞赛中的运用　　在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说

2、涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”.　　“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。一、抽屉原理的基本形式　　定理1

3、、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。　　例1．已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（如图）。证明：至少有两个点之间的距离不大于（1978年广东省数学竞赛题）分析：5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其距离便不大于。以上结

4、论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我们就来证明这个定理。如图，设BC是ABC的最大边，P，M是ABC内（包括边界）任意两点，连接PM，过P分别作AB、BC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为P、Q、N，那么　　∠PQN=∠C，∠QNP=∠A　　因为BC≥AB，所以∠A≥∠C，则∠QNP≥∠PQN，而∠QMP≥∠QNP≥∠PQN（三角形的外角大于不相邻的内角），所以PQ≥PM。显然BC≥PQ，故BC≥PM。　　由此我们可以推知，边长为的等边三角形内（包括边界）两点间

5、的距离不大于。　　说明：（1）这里是用等分三角形的方法来构造“抽屉”。类似地，还可以利用等分线段、等分正方形的方法来构造“抽屉”。例如“任取n+1个正数ai，满足0＜ai≤1（i=1,2,…,n+1），试证明：这n+1个数中必存在两个数，其差的绝对值小于”。又如：“在边长为1的正方形内任意放置五个点，求证：其中必有两点，这两点之间的距离不大于。　　（2）例1中，如果把条件（包括边界）去掉，则结论可以修改为：至少有两个点之间的距离小于"，大家可以自己证明，并比较证明的差别。　　（3）用同样的方法可证明以下结论：　　i）在边

6、长为1的等边三角形中有n2+1个点，这n2+1个点中一定有距离不大于的两点。　　ii）在边长为1的等边三角形内有n2+1个点，这n2+1个点中一定有距离小于的两点。　　（4）将（3）中两个命题中的等边三角形换成正方形，相应的结论中的换成，命题仍然成立。　　（5）我们还可以考虑相反的问题：一般地，至少需要多少个点，才能够使得边长为1的正三角形内（包括边界）有两点其距离不超过。　　例2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。分析：本题似乎茫无头绪，从何入手？其关键何在？

7、其实就在“两个数”，其中一个是另一个的整数倍。我们要构造“抽屉”，使得每个抽屉里任取两个数，都有一个是另一个的整数倍，这只有把公比是正整数的整个等比数列都放进去同一个抽屉才行，这里用得到一个自然数分类的基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的方幂的积，即若m∈N+,K∈N+，n∈N,则m=(2k-1)·2n，并且这种表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×21，3=3×2°，…　　证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幂，并且这种表示方法是唯一的，所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉（

8、因为1-100中共有50个奇数）：　　（1）{1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26}；　　（2）{3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25}；　　（3）{5，5×2，5×22，5×23，5×24}；　　（4）{7，7×2，7×22，7×23}；　　（5）{9，9×2，9×22，9×2