浅谈抽屉原理在高中数学竞赛中的运1

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1、浅谈抽屉原理在高中数学竞赛中的运用  在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题,例如:“13个人中至少有两个人出生在相同月份”;“某校400名学生中,一定存在两名学生,他们在同一天过生日”;“2003个人任意分成200个小组,一定存在一组,其成员数不少于11”;“把[0,1]内的全部有理数放到100个集合中,一定存在一个集合,它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中,“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时,只要求指明存在,一般并不需要指出哪一个,也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说

2、涉及到的运算较少,依据的理论也不复杂,我们把这些理论称之为“抽屉原理”.  “抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱(Dirichlet)运用于解决数学问题的,所以又称“迪里赫莱原理”,也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果,任意分放在9个抽屉里,则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的,但应用它却可以解决许多有趣的问题,并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容,本讲就来学习它的有关知识及其应用。一、抽屉原理的基本形式  定理1

3、、如果把n+1个元素分成n个集合,那么不管怎么分,都存在一个集合,其中至少有两个元素。  例1.已知在边长为1的等边三角形内(包括边界)有任意五个点(如图)。证明:至少有两个点之间的距离不大于(1978年广东省数学竞赛题)分析:5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内(包括边界)有5个点,那么这5个点中一定有距离不大于的两点”,则顺次连接三角形三边中点,即三角形的三条中位线,可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形,则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中(包括边界),其距离便不大于。以上结

4、论要由定理“三角形内(包括边界)任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证,下面我们就来证明这个定理。如图,设BC是ABC的最大边,P,M是ABC内(包括边界)任意两点,连接PM,过P分别作AB、BC边的平行线,过M作AC边的平行线,设各平行线交点为P、Q、N,那么  ∠PQN=∠C,∠QNP=∠A  因为BC≥AB,所以∠A≥∠C,则∠QNP≥∠PQN,而∠QMP≥∠QNP≥∠PQN(三角形的外角大于不相邻的内角),所以PQ≥PM。显然BC≥PQ,故BC≥PM。  由此我们可以推知,边长为的等边三角形内(包括边界)两点间

5、的距离不大于。  说明:(1)这里是用等分三角形的方法来构造“抽屉”。类似地,还可以利用等分线段、等分正方形的方法来构造“抽屉”。例如“任取n+1个正数ai,满足0<ai≤1(i=1,2,…,n+1),试证明:这n+1个数中必存在两个数,其差的绝对值小于”。又如:“在边长为1的正方形内任意放置五个点,求证:其中必有两点,这两点之间的距离不大于。  (2)例1中,如果把条件(包括边界)去掉,则结论可以修改为:至少有两个点之间的距离小于",大家可以自己证明,并比较证明的差别。  (3)用同样的方法可证明以下结论:  i)在边

6、长为1的等边三角形中有n2+1个点,这n2+1个点中一定有距离不大于的两点。  ii)在边长为1的等边三角形内有n2+1个点,这n2+1个点中一定有距离小于的两点。  (4)将(3)中两个命题中的等边三角形换成正方形,相应的结论中的换成,命题仍然成立。  (5)我们还可以考虑相反的问题:一般地,至少需要多少个点,才能够使得边长为1的正三角形内(包括边界)有两点其距离不超过。  例2.从1-100的自然数中,任意取出51个数,证明其中一定有两个数,它们中的一个是另一个的整数倍。分析:本题似乎茫无头绪,从何入手?其关键何在?

7、其实就在“两个数”,其中一个是另一个的整数倍。我们要构造“抽屉”,使得每个抽屉里任取两个数,都有一个是另一个的整数倍,这只有把公比是正整数的整个等比数列都放进去同一个抽屉才行,这里用得到一个自然数分类的基本知识:任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的方幂的积,即若m∈N+,K∈N+,n∈N,则m=(2k-1)·2n,并且这种表示方式是唯一的,如1=1×2°,2=1×21,3=3×2°,…  证明:因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幂,并且这种表示方法是唯一的,所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉(

8、因为1-100中共有50个奇数):  (1){1,1×2,1×22,1×23,1×24,1×25,1×26};  (2){3,3×2,3×22,3×23,3×24,3×25};  (3){5,5×2,5×22,5×23,5×24};  (4){7,7×2,7×22,7×23};  (5){9,9×2,9×22,9×2

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