资源描述:
《浅谈抽屉原理在高中数学竞赛中的运用》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈抽屉原理在高中数学竞赛中的运用在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题,例如:“13个人屮至少有两个人出生在相同月份”;"某校400名学生中,一•定存在两名学牛,他们在同一天过生日”;"2003个人任意分成200个小组,一定存在一组,其成员数不少于11”;“把[0,1]内的全部有理数放到100个集合中,一定存在一个集合,它里面有无限多个冇理数”。这类存在性问题中,“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时,只要求指明存在,一般并不需要指出哪一个,也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出來。这类问题相对來说涉及到的运算较少,依据的理论也不复朵,我们把
2、这些理论称之为“抽屉原理”•“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家辿里赫莱(Dirichlet)运用于解决数学问题的,所以又称“迪里赫莱原理”,也冇称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果,任意分放在9个抽屉里,则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的,但应用它却可以解决许多有趣的问题,并且常常得到一些令人惊异的结果。捕屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容,本讲就来学习它的有关知识及其应用。一、抽屉原理的基本形式定理1、如果把*1个元素分成n个集合,那么不管怎么分,都存在一个集合,其中至少有两个元素。例1.已知
3、在边长为1的等边三角形内(包括边界)有任意五个点(如图)。证明:至少有两个点之间的距离不大于丄(1978年广东省数学竞赛题)2分析:5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内(包括边界)有5个点,那么这5个点中一定有距离不大于丄的两点”,则顺次连接三角形三边中点,即三角形的三2条屮位线,可以分原等边三用形为4个全等的边长为丄2的小等边三角形,则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中(包括边界),其距离便不大于丄。2以上结论要由定理'‘三角形內(包括边界)任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证,下面我们就來证明这个定理。如图,设BC是AABC的
4、最大边,P,M是AABC内(包括边界)任意两点,连接PM,过P分别作AB、BC边的平行线,过M作AC边的平行线,设各平行线交点为P、Q、N,那么ZPQ2ZC,ZQNP=ZA因为BC2AB,所以ZA^ZC,则ZQNP^ZPQN,而ZQMP^ZQNP^ZPQN(三角形的外角大于不相邻的内角),所以PQMPM。显然BCNPQ,故BCMPM。山此我们可以推知,边长为丄的等边三角形内(包括边界)两点间的距离不人于丄。22说明:(1)这里是用等分三角形的方法来构造“抽屉”。类似地,还可以利用等分线段、等分正方形的方法來构造“抽屉”。例如“任取n+1个正数ai,满足0V&W1
5、(i=l,2,…,n+1),试证明:这n+1个数屮必存在两个数,其差的绝对值小于丄”。乂如:n“在边长为1的正方形内任意放置五个点,求证:其屮必有两点,这两点之间的距离不人于返O2(2)例1中,如果把条件(包括边界)去掉,则结论可以修改为:至少有两个点Z间的距离小于丄〃,大家可以口己证明,并比较证明的差别。2(3)用同样的方法可证明以下结论:i)在边长为1的等边三角形中有『+1个点,这r?+l个点中一定有距离不大于丄的两点。nii)在边长为1的等边三角形内有『+1个点,这『+1个点中一定有距离小于丄的两点。n]Fi(4)将(3)中两个命题中的等边三角形换成正方形
6、,相应的结论中的一换成—,nn命题仍然成立。(5)我们还可以考虑相反的问题:-•般地,至少需要多少个点,才能够使得边长为1的正三角形内(包括边界)有两点其距离不超过丄。n例2.从1-100的白然数中,任意取出51个数,证明其屮一定有两个数,它们屮的一个是另一个的整数倍。分析:本题似乎茫无头绪,从何入手?其关键何在?其实就在“两个数”,其中一个是另一个的整数倍。我们要构造“抽屉”,使得每个抽屉里任取两个数,都有一个是另一个的整数倍,这只有把公比是正整数的整个等比数列都放进去同一个抽屉才行,这里用得到一个H然数分类的基本知识:任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的
7、方幕的积,即若mGNKGN*,nEN,则m二(2k-1)・2",并且这种表示方式是唯一的,如1=1X2°,2=1X21,3=3X2°,证明:因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幕,并几这种表示方法是唯一的,所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉(因为1-100中共冇50个奇数):(1){1,1X2,1X22,1X23,1X24,1X25,1X2,(2){3,3X2,3X22,3X2',3X21,3X25};(3){5,5X2,5X22,5X2',5X2'}•(4){7,7X2,7X22,7X2'}■♦(5){9,9X2,9X2",9X23}■
8、*(6){11,11X2