资源描述：
《浅谈抽屉原理在高中数学竞赛中的运用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈抽屉原理在高中数学竞赛中的运用在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人屮至少有两个人出生在相同月份”；"某校400名学生中，一•定存在两名学牛，他们在同一天过生日”；"2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把［0,1］内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个冇理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出來。这类问题相对來说涉及到的运算较少，依据的理论也不复朵，我们把
2、这些理论称之为“抽屉原理”•“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家辿里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也冇称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。捕屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。一、抽屉原理的基本形式定理1、如果把*1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。例1.已知
3、在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（如图）。证明：至少有两个点之间的距离不大于丄（1978年广东省数学竞赛题）2分析：5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于丄的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三2条屮位线，可以分原等边三用形为4个全等的边长为丄2的小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其距离便不大于丄。2以上结论要由定理'‘三角形內（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我们就來证明这个定理。如图，设BC是AABC的
4、最大边，P,M是AABC内（包括边界）任意两点，连接PM,过P分别作AB、BC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为P、Q、N,那么ZPQ2ZC,ZQNP=ZA因为BC2AB,所以ZA^ZC,则ZQNP^ZPQN,而ZQMP^ZQNP^ZPQN（三角形的外角大于不相邻的内角）,所以PQMPM。显然BCNPQ,故BCMPM。山此我们可以推知，边长为丄的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不人于丄。22说明：（1）这里是用等分三角形的方法来构造“抽屉”。类似地，还可以利用等分线段、等分正方形的方法來构造“抽屉”。例如“任取n+1个正数ai,满足0V&W1
5、（i=l,2,…,n+1）,试证明：这n+1个数屮必存在两个数，其差的绝对值小于丄”。乂如：n“在边长为1的正方形内任意放置五个点，求证：其屮必有两点，这两点之间的距离不人于返O2（2）例1中，如果把条件（包括边界）去掉，则结论可以修改为：至少有两个点Z间的距离小于丄〃，大家可以口己证明，并比较证明的差别。2（3）用同样的方法可证明以下结论：i）在边长为1的等边三角形中有『+1个点，这r?+l个点中一定有距离不大于丄的两点。nii）在边长为1的等边三角形内有『+1个点，这『+1个点中一定有距离小于丄的两点。n]Fi（4）将（3）中两个命题中的等边三角形换成正方形
6、，相应的结论中的一换成—,nn命题仍然成立。（5）我们还可以考虑相反的问题：-•般地，至少需要多少个点，才能够使得边长为1的正三角形内（包括边界）有两点其距离不超过丄。n例2.从1-100的白然数中，任意取出51个数，证明其屮一定有两个数，它们屮的一个是另一个的整数倍。分析：本题似乎茫无头绪，从何入手？其关键何在？其实就在“两个数”，其中一个是另一个的整数倍。我们要构造“抽屉”，使得每个抽屉里任取两个数，都有一个是另一个的整数倍，这只有把公比是正整数的整个等比数列都放进去同一个抽屉才行，这里用得到一个H然数分类的基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的
7、方幕的积，即若mGNKGN*,nEN,则m二（2k-1）・2",并且这种表示方式是唯一的,如1=1X2°,2=1X21,3=3X2°,证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幕，并几这种表示方法是唯一的,所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉（因为1-100中共冇50个奇数）：(1){1，1X2,1X22,1X23,1X24,1X25,1X2,(2){3,3X2,3X22,3X2',3X21,3X25}；(3){5,5X2,5X22,5X2',5X2'}•(4){7,7X2,7X22,7X2'}■♦(5){9,9X2,9X2",9X23}■
8、*(6){11,11X2
