初一数学竞赛系列讲座（5）.doc

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1、初一数学竞赛系列讲座(5)代数式初步一、知识要点1、代数式定义1用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。2、代数式的值定义2用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。3、列代数式列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识。列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”。4、求代数式的值代数式的值由它所含字母的取值决定，并随字母取值的改变而改变，字母取不同的值，代数式的值可能同也可能不同。代数式中所含字母取值时

2、，不能使代数式无意义。求代数式的值的一般步骤是(1)代入，(2)计算。二、例题精讲例1、轮船在静水中的速度是每小时a千米，水流速度为每小时b千米(b

3、流速度=静水中的速度+水流速度；逆流速度=静水中的速度-水流速度。例2一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长。为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟。如果他从最前头跑步回到队尾，那么要()分钟。A、B、C、D、分析：这是行程问题中的相遇问题。解部队的行军速度为米/分。t1分钟内，队尾的战士比部队多走了a米，则他的速度为米/分=米/分。他从最前头跑步回到队尾的过程中，队尾恰好与他相向而行，故所需时间应为(分)选C例3若a

4、x+cy+bzC、bx+ay+czD、bx+cy+az分析：由于本题涉及的字母比较多，直接比较四个代数式的大小很困难。因为是选择题，故可采用特值排除法来解。解：∵a

5、知等式，得将x=-1代入已知等式，得两式相加，得2()=730∴=365评注：本题采用的是特值法。例5已知当x=7时,代数式ax5+bx-8=8,求x=7时,的值.分析代数式ax5+bx-8中有三个字母,将x=7代入，仍无法求出a,b的值，影响直接代入求值，但通过观察，发现将x=7代入,可整体地求出75a+7b的值，从而问题得到解决。解由已知条件知：a75+b7-8=8，所以a75+b7=16当x=7时，=(a75+b7)+8=16+8=16评注：本题采用的是“整体处理思想”，整体处理是一种常用的数学思想。例6若ab=1，求的值分析此题的解法很多，

6、关键是如何充分利用好ab=1，如由ab=1得出，然后直接代入计算；如利用ab=1巧秒地将式子中的“1”代换成ab；如在式子的一个分式的分子、分母上乘以a或b，然后化成同分母进行计算。解法1由ab=1得，从而=解法2∵ab=1，∴=解法3∵ab=1，∴=评注：本题中的解法2与解法3巧秒地应用了“1”的代换，“1”的代换是恒等变形中的常用技巧之一。例7若a、b、c全不为零，且求证：(1978丹东市数学竞赛试题)分析本题是由两个已知等式来证明一个等式，容易发现，所求证等式中没有b，因而可设法从两已知等式中消去b。证明：由，由两式相乘得整理得去分母得ac+

7、1=a，因为a≠0，故两边同除以a得评注：本题是证明条件恒等式，条件恒等式的证明关键是充分利用好条件式。例8对任意实数x、y，定义运算xy为xy=ax+by+cxy其中a、b、c为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法。现已知12=3，23=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数x,都有xd=x，求d的值。解由已知条件知12=a+2b+2c=3①23=2a+3b+6c=4②xd=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x③由③得a+cd=1bd=0因为d≠0，所以b=0代入①得a+2c=3，代入②得2a+6c=4从而解得a=5，c=-1，

8、将a=5，c=-1代入a+cd=1得d=4评注：解决定义新运算的问题，关键是通过新运算的定义，将新运算转化为常规运算。例9