初一数学竞赛系列讲座2

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1、Xupeisen110初中奥数初一数学竞赛系列讲座2容斥原理知识要点1、容斥原理在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。它的基本形式是：记A、B是两个集合，属于集合A的东西有个，属于集合B的东西有个，既属于集合A又属于集合B的东西记为，有个；属于集合A或属于集合B的东西记为，有个，则有：=+-AÇBAB容斥原理可以用一个直观的图形来解释。如图，左圆表示集合A，右圆表示集合B，两圆的公共部分表示，两圆合起来的部分表示，由图可知：=+-容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰

2、原则。例题精讲例1在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2´1，2´2，…，2´100，共100个；在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3´1，3´2，…，3´66，共66个；在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为：6´1，6´2，…，6´33，共33个；所以，在1到200的整数中，既不能被2整除

3、，又不能被3整除的整数个数为：200-100-66+33=67(个)例2求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S。解：1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=50501到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：2´1+2´2+…+2´50=2´(1+2+3+…+50)=2´1275=25501到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：3´1+3´2+…+3´33=3´(1+2+3+…+33)=3´561=16831到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：6´1+

4、6´2+…+6´16=6´(1+2+3+…+16)=6´136=816所以，1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S=5050-2550-1683+816=1633例3求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。Xupeisen110初中奥数ABC分析：如图，用3个圆A、B、C分别表示不大于500而能被2、3、5整除的自然数，表示既能被2整除又能被3整除的自然数表示既能被2整除又能被5整除的自然数表示既能被3整除又能被5整除的自然数表示既能被2整除又能被3整除，还能被5整除的自然数由图可看出：属于A、B、C之一的数

5、的个数为：++-(++)+解：不大于500且能被2整除的自然数的个数是：250不大于500且能被3整除的自然数的个数是：166不大于500且能被5整除的自然数的个数是：100不大于500既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的自然数的个数是：83不大于500既能被2整除又能被5整除，即能被10整除的自然数的个数是：50不大于500既能被3整除又能被5整除，即能被15整除的自然数的个数是：33不大于500既能被2整除又能被3整除，还能被5整除，即能被30整除的自然数的个数是：16由容斥原理得：不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数是：250

6、+166+100-(83+50+33)+16=366例4求前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和。解：前200个正整数的和是：1+2+3+…+200=20100前200个正整数中，所有2的倍数的正整数和是：2´1+2´2+…+2´100=2´(1+2+3+…+100)=2´5050=10100前200个正整数中，所有3的倍数的正整数和是：3´1+3´2+…+3´66=3´(1+2+3+…+66)=6633前200个正整数中，所有5的倍数的正整数和是：5´1+5´2+…+5´40=5´(1+2+3+…+40)=4100前200个正整数中，所有

7、既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的正整数和是：6´1+6´2+…+6´33=6´(1+2+3+…+33)=3366前200个正整数中，所有既是2的倍数又是5的倍数，即是10的倍数的正整数和是：10´1+10´2+…+10´33=10´(1+2+3+…+20)=2100前200个正整数中，所有既是3的倍数又是5的倍数，即是15的倍数的正整数和是：15´1+15´2+…+15´13=15´(1+2+3+…+13)=1365前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数还是5的倍数，即是30的倍数的正整数和是：30´1+30´2+…+30´6=30´(1

8、+2+3+4+5+6)=630所以，前200个正整数中，所有非2、