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时间:2019-09-20
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1、Xupeisen110初中奥数初一数学竞赛系列讲座2容斥原理知识要点1、容斥原理在计数时,常常遇到这样的情况,作合并运算时会把重复的部分多算,需要减去;作排除运算时会把重复部分多减,需要加上,这就是容斥原理。它的基本形式是:记A、B是两个集合,属于集合A的东西有个,属于集合B的东西有个,既属于集合A又属于集合B的东西记为,有个;属于集合A或属于集合B的东西记为,有个,则有:=+-AÇBAB容斥原理可以用一个直观的图形来解释。如图,左圆表示集合A,右圆表示集合B,两圆的公共部分表示,两圆合起来的部分表示,由图可知:=+-容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰
2、原则。例题精讲例1在1到200的整数中,既不能被2整除,又不能被3整除的整数有多少个?分析:根据容斥原理,应是200减去能被2整除的整数个数,减去能被3整除的整数个数,还要加上既能被2整除又能被3整除,即能被6整除的整数个数。解:在1到200的整数中,能被2整除的整数个数为:2´1,2´2,…,2´100,共100个;在1到200的整数中,能被3整除的整数个数为:3´1,3´2,…,3´66,共66个;在1到200的整数中,既能被2整除又能被3整除,即能被6整除的整数个数为:6´1,6´2,…,6´33,共33个;所以,在1到200的整数中,既不能被2整除
3、,又不能被3整除的整数个数为:200-100-66+33=67(个)例2求1到100的自然数中,所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S。解:1到100的自然数中,所有自然数的和是:1+2+3+…+100=50501到100的自然数中,所有2的倍数的自然数和是:2´1+2´2+…+2´50=2´(1+2+3+…+50)=2´1275=25501到100的自然数中,所有3的倍数的自然数和是:3´1+3´2+…+3´33=3´(1+2+3+…+33)=3´561=16831到100的自然数中,所有既是2的倍数又是3的倍数,即是6的倍数的自然数和是:6´1+
4、6´2+…+6´16=6´(1+2+3+…+16)=6´136=816所以,1到100的自然数中,所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S=5050-2550-1683+816=1633例3求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。Xupeisen110初中奥数ABC分析:如图,用3个圆A、B、C分别表示不大于500而能被2、3、5整除的自然数,表示既能被2整除又能被3整除的自然数表示既能被2整除又能被5整除的自然数表示既能被3整除又能被5整除的自然数表示既能被2整除又能被3整除,还能被5整除的自然数由图可看出:属于A、B、C之一的数
5、的个数为:++-(++)+解:不大于500且能被2整除的自然数的个数是:250不大于500且能被3整除的自然数的个数是:166不大于500且能被5整除的自然数的个数是:100不大于500既能被2整除又能被3整除,即能被6整除的自然数的个数是:83不大于500既能被2整除又能被5整除,即能被10整除的自然数的个数是:50不大于500既能被3整除又能被5整除,即能被15整除的自然数的个数是:33不大于500既能被2整除又能被3整除,还能被5整除,即能被30整除的自然数的个数是:16由容斥原理得:不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数是:250
6、+166+100-(83+50+33)+16=366例4求前200个正整数中,所有非2、非3、非5的倍数的数之和。解:前200个正整数的和是:1+2+3+…+200=20100前200个正整数中,所有2的倍数的正整数和是:2´1+2´2+…+2´100=2´(1+2+3+…+100)=2´5050=10100前200个正整数中,所有3的倍数的正整数和是:3´1+3´2+…+3´66=3´(1+2+3+…+66)=6633前200个正整数中,所有5的倍数的正整数和是:5´1+5´2+…+5´40=5´(1+2+3+…+40)=4100前200个正整数中,所有
7、既是2的倍数又是3的倍数,即是6的倍数的正整数和是:6´1+6´2+…+6´33=6´(1+2+3+…+33)=3366前200个正整数中,所有既是2的倍数又是5的倍数,即是10的倍数的正整数和是:10´1+10´2+…+10´33=10´(1+2+3+…+20)=2100前200个正整数中,所有既是3的倍数又是5的倍数,即是15的倍数的正整数和是:15´1+15´2+…+15´13=15´(1+2+3+…+13)=1365前200个正整数中,所有既是2的倍数又是3的倍数还是5的倍数,即是30的倍数的正整数和是:30´1+30´2+…+30´6=30´(1
8、+2+3+4+5+6)=630所以,前200个正整数中,所有非2、
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