大学课件 非齐次线性方程组性质.ppt

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1、三、非齐次线性方程组的性质四、小结思考题二、基础解系及其求法一、齐次线性方程组的性质第四节线性方程组的解结构第四章向量组的线性相关性１．解向量的概念设有齐次线性方程组若记（1）一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的性质则上述方程组（1）可写成向量方程若为方程的解，则称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则也是的解.证明（2）若为的解，为实数，则也是的解．证明证毕..,,,0)2(21示线性表的任一解都可由tAxhhhL=１．基础解系的定义二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法２．线性方程组基

2、础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．于是可化为现对取下列组数：依次得从而求得原方程组的个解：下面证明是齐次线性方程组的基础解系．由于个维向量线性无关，所以个维向量亦线性无关..,,,2)(21线性表示可由证明方程组的任一解都rn-xxxL由于是的解故也是的解.所以是齐次线性方程组的最大无关组。说明１．方程组的基础解系不是唯一的．２．任何一个基础解系的向量个数一样.３．若是的基础解系，则其通解为也就是基础解系。定理7设mn矩阵A的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩RS=n-r.例1求齐次线性方程组的基础

3、解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有例2解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为例3证.0,3)(2121的解为对应的齐次方程则的解都是及设=-====AxxbAxxxhhhh证明１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明证毕．.,0,4)(的解仍是方程则的解是方程的解是方程设bAxxAxxbAxx=+=====hxxh其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为３．与方程

4、组有解等价的命题bAx=线性方程组有解４．线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则（2）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．例4求解方程组解１．齐次线性方程组基础解系的求法四、小结（1）对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形四、小结由于令（2）得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量．故为齐次线性方程组的一个基础解系.()()nBRAR==

5、()()nBRAR<=２．线性方程组解的情况思考题思考题思考题解答思考题解答