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《第九章 多元函数积分学.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第九章多元积分学及其应用第一节三重积分1定义.2性质:3计算:1)直角坐标:i)先一后二;ii)先二后一.2)柱坐标:3)球坐标:4)利奇偶性若积分域关于坐标面对称,关于有奇偶性,则5)利用变量的对称性.题型一计算三重积分例9.1计算,其中由所确定.解原式.例9.2计算,其中由和所确定.解法1原式解法2设，则.由于与的计算方法完全一样，以下仅以说明其三种较简单的计算方法：方法1直角坐标下先二后一：（其中）.方法2由形心计算公式得（其中为的形心坐标）方法3利奇偶性.注意关于平面上下对称，则从而有.例9.3计
2、算,其中由曲线，绕轴旋转一周而成的曲面和平面，所围的立体.解法1解法2例9.4计算,解（奇偶性）（变量对称性）例9.5设连续,,其中由,所确定.求.解..题型二更换三重积分次序例9.6计算解先交换和的次序，则.第二节对弧长的线积分（第一类线积分）计算方法1．直接法：1)若，，则.2)若，，则3)若，，则2.利用奇偶性.1)若积分曲线关于轴对称,则.2)若积分曲线关于轴对称,则3．利用对称性若积分曲线关于直线对称,则=特别的题型计算对弧长的线积分例9.7设是椭圆，其周长为，则解（奇偶性）例9.8计算,其中为
3、解:其中计算积分可以用直接法，以下介绍两种简单方法方法1（奇偶性）方法2（形心公式）例9.9计算,其中为双纽线解双纽线的极坐标方程为例9.10计算,其中为。解法1:直接法参数方程为：,解法2:对称性.（对称性）第三节对坐标的线积分(第二类线积分)1.计算方法(平面)1)直接法;2)格林公式.3)补线用格林公式4)利用线积分与路径无关（1）判定:.（2）计算:a)改换路径;b)利用原函数,其中,求原函数方法:①偏积分;②凑微分.2.两类线积分的联系:.题型计算对坐标的线积分例9．11计算.其中为从到的曲线段
4、.分析由于，则本题中的线积分与路径无关.解法1改换路径，点为点。原式.也可将路径改换为另一折线、，其中点为点，则原式.解法2利用原函数，由于则.故.例9.12设为椭圆沿逆时针方向,则.解由格林公式得其中是由围成的椭圆域，为其面积，该椭圆方程可改写为，则其面积.故.例9.13计算,其中为正常数,为从点沿曲线到点的弧.解补线段，则，其中为与围成的半圆域，则例9.14计算,其中(1)为的正向;(2)为的正向.解（1），由格林公式得（其中为曲线所围圆域）.（2），此时不能直接用格林公式，因为在点条件不满足.因此，
5、作以为中心的圆且取顺时针方向，在和围成的环形域上用格林公式得，即.则（这里用了格林公式）.注：由本题可看出，对线积分，除原点外，有连续一阶偏导数，且.此时有以下结论：1）沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零.2）沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分均相等.事实上，线积分都属于这个类型.例9.15计算,其中是以为中心,为半径的圆周取逆时针方向.解本题中的，除原点外，和都有连续一阶偏导数，且.由例8.19的讨论知，以下应分点在曲线所围区域之内以和之外两种情况进行计算.（1）若，则点不在曲
6、线围成区域内，则.（2）若，则点在曲线所围区域内，由例8.19中的讨论知，此时沿绕原点的任一分段光滑闭曲线的积分相等，根据本题被积函数分母之特点，我们选为椭圆且取逆时针方向，则例9.16已知曲线积分(常数),其中有连续导数且.是绕(0,0)一周的任一分段光滑正向闭曲线,试求及.(，)例9.17设有二阶连续导数,,且其中是右半平面内任一分段光滑简单闭曲线,求解由题设条件知，在处，即.令，则.这是关于的一阶线性方程，由通解公式知.由知，.于是.由知，，则.例9.18计算,其中弧为连结与点的线段的下方的任意分段
7、光滑简单曲线,且该曲线与线段所围图形面积为2,解法1补线段，则直线的方程为：，则故解法2,其中故例9.19设圆周的逆时针方向,为连续正值函数,试证:.证由格林公式知由于区域关于对称，则，于是.原题得证.例9.20计算,其中是曲线从轴正向往z轴负向看去为顺时针方向。解法1直接法曲线的参数方程为：，则解法2斯托克斯公式;解法3化为平面线积分.将代入原积分得（为）第四节对面积的面积分(第一类面积分)计算方法1.直接法:设曲面,2.利用奇偶性若曲面关于面对称,则3．利用对称性题型计算对面积的面积分例9.21设曲面
8、则解原式（奇偶性，为在第一卦限的部分）计算积分有以下三种方法：方法1=方法2方法3（形心公式）则原式例9.22计算,其中为锥面被圆柱面所截下的部分.解（奇偶性）.则.例9.23计算,其中为柱面夹在和()之间的部分.解法1，（奇偶性）其中为在面前侧的部分，方程为，则，则（）.故.解法2例9.24计算,其中为球面.解.例9.25计算,其中为球面.解.由于球面关于平面对称，则则.事实上，计算还有一个较为简单的方法，利用形心计算公式得
