第九章 多元函数的积分学习题

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1、第九章多元函数的积分学习题§９．２　二重积分的计算说明：所有的积分区域均未画出，请自己补上．求下列二重积分：１．；其中D是矩形：　　　２．；其中D是三角形，其三边为．　　３．；其中Ｄ是由直线及抛物线所围成的区域．．４．；其中Ｄ是由抛物线及直线所围成的区域．　　５．；其中D是由两条抛物线围成的区域．68６．；其中D是由两条抛物线围成的区域．．７．；其中D是由直线及围成．　．８．；其中Ｄ由抛物线直线及轴围成．抛物线与直线的交点坐标为．　但　．68所以　．求下列重积分，并绘出积分区域：说明：积分区域未绘出，但指出了区域．９．；．积分区域由抛物线，三次抛

2、物线及直线x＝２围成．１０．；积分区域是由三直线围成的三角形区域．１１．；．　　积分区域是由及水平直线围出的三角形区域．１２．；．积分区域是余弦曲线在上的一段与x轴及y轴围出的．试利用极坐标计算下列积分：１３．，其中Ｄ是围成的区域．68用极坐标表示的积分区域Ｄ：．１４．；其中D是圆所包含的第一象限的区域．用极坐标表示积分区域为．．１５．；其中Ｄ是圆环．采用极坐标，，　　１６．，其中Ｄ是圆环．，１７．计算以圆周围成的区域为底而以曲面为顶的曲顶柱体的体积．由二重积分的几何意义，即知所求体积（计算见第１３题）68１８．求两个底面半径都等于Ｒ的直交圆柱所

3、组成的立体体积．设圆柱面的方程分别为与．利用对称性，只须求出位于第一卦限部分的体积，然后８倍即可．位于第一卦限部分的立体是以在第一象限部分为底、而顶是，故位于第一卦限部分的体积．所以，所求体积为．１９．计算由平面所围成的柱体，被平面及抛物面截得的立体体积．　　问题是求以围成的区域Ｄ为底，为顶的曲顶柱体体积Ｖ．．２１．设有一块薄平板，它所占据的区域D由直线及抛物线　所围成，并且它的面密度，求这块薄平板的质量．　　　．２２．在一个形状为旋转抛物面的容器内，已经盛有的溶液．现在又倒进去的溶液，问液面比原来的液面升高了多少厘米？68我们先求出溶液体积V与

4、液面高度h的关系．当液面高度为h时，液面在xoy面上投影区域为．故　．当时，；时，，故问题中的液面升高了１２cm．§９．３　三重积分的定义及计算１．计算下列三重积分：（１）；．．（２）；．．（３）；．　　　．２．求的值，其中Ｖ是柱面及平面所围成的第一卦限内的区域．使用柱面坐标，则．68．３．求的值，其中Ｖ是由圆柱面，平面所围成的区域．采用柱面坐标，则，故　．４．求，其中Ｖ是球面围成区域．用球坐标形式，则　　　，从而.５．求的值，其中Ｖ是两个半球面，及平面所围成的区域．用球坐标表示，则，所以．68６．求由圆柱面，旋转抛物面及平面所围成的立体体积．可

5、用二重积分的方法求得，我们这里采用三重积分的方法．　用柱面坐标，则积分区域可取为故所求体积为　　　　　．７．求上面是平面，下面是锥面所围成的体积．同样可由二重积分求得，此处采用柱坐标，故所求体积为．８．有一个半径为a的球体，其中任一点的密度与该点到球心的距离成正比（设比例常数为k），试求这球体的质量．设球体表面的方程为，，则由题意，知密度为．故用球坐标，得该球体的质量．§９．４　重积分的应用１．求曲面被圆柱面截下来的那部分面积．直接使用曲面域的面积公式，得所求面积．68２．求球面含在圆柱面内部的面积．　　由对称性，可先求位于第一卦限部分的面积，然

6、后４倍即可．，圆周，包围的区域．故所求面积为　３．求柱面被柱面所截部分的面积．根据对称性，可先求位于第一卦限部分的面积，然后８倍即可．，．，故．４．求四面体的重心．由于重心坐标满足，而，．故　，由对称性，，68所以立体的重心坐标为．５．求均匀半球体的重心．由图形的对称，可知重心坐标中的，只要求即可．用球坐标，．又半球体体积，故　，所以，所求重心坐标为　．６．求由球面与顶点在坐标原点且半顶角为的内接锥面所围成的均匀物体的重心．锥面方程为．由图形的对称，可知重心坐标中的，只要求即可．用球坐标，．而．所以．故重心坐标为，．７．求一均匀圆柱被平面所截部分

7、的重心．　用柱坐标，由于68．对坐标面的力矩，．由的对称性，．８．求密度为１的均匀球体对坐标轴的转动惯量．用球坐标计算，对x轴的转动惯量　．由对称性，即知对y轴和z轴的转动惯量仍为．９．求半径为r，高为h的均匀圆柱体，绕过中心而平行于母线的轴的转动惯量．设柱面方程为，上下底为平面．用柱坐标计算．68所求转动惯量即为（取密度值１）．１０．设有一密度为的物体，受到位于原点而质量为的质点的引力作用，且原点不在物体内部，如果象上面确定物体重心坐标那样，把近似地化成是由n个质点组成的质点系．那么在这质点系中每个质点所受的引力大小是与该点与原点的距离的平方成

8、反比，而与点的质量成正比，引力的方向是从该点指向原点，试求整个物体所受的引力的公式．我们用元素法求出引力公式．在物体内任取一小块（也表示