第九章多元函数的积分学

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1、第9章多元函数的积分学第一节重积分的概念与性质一、重积分的概念引例1曲顶柱体的体积曲顶柱体是指底是面上的有界闭区域，它的侧面是以的边界为准线而母线平行于轴的柱面的一部分，它的顶面是曲面，，且为上的连续函数，如图所示，现在我们讨论如何计算上述曲顶柱体的体积。（1）分割区域：任取一组曲线网将区域分割成个小闭区域：，，…，，…，，（2）近似代替：在中任取一点，用表示的面积，则以为底，以为高的平顶柱体的体积为：，于是有（3）作和：。（4）取极限：记，当趋于零时，引例2平面薄片的质量设有一平面薄片占有面上的有界

2、闭区域，它在点处的面密度为,且在上连续，现在要计算该薄片的质量。首先作分割，将薄片任意分成个小块，在上任取一点，用表示的面积，就可得到每个小块薄片质量的近似值：再通过求和即得平面薄片质量的近似值：，记，则。1.二重积分的定义定义1设是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分割成个小闭区域，，…，，…，，并用表示第个小闭区域的面积。在每个小区域上任取一点，作乘积（近似代替），并作和，记，如果当趋于零时和式的极限存在，则称此极限为函数在有界闭区域上的二重积分，记为，其中称为被积函数，称为被积表达式，称为面积

3、元素，及称为积分变量，称为积分区域，称为二重积分号。定理1（可积的充分条件）若函数在有界闭区域上连续，则函数在上必可积。定理2（可积的必要条件）若函数在有界闭区域上可积，则函数在上必有界。曲顶柱体体积；非均匀平面薄片质量。若，则由引例1知表示曲顶柱体的体积；若，曲顶柱面位于面的下方，故二重积分为负值，其绝对值恰为曲顶柱体的体积，即为曲顶柱体体积的负值；若在区域上正负相间，则为位于面上方的曲顶柱体体积与位于面下方的曲顶柱体体积的代数和。这一几何意义与一元函数定积分的几何意义完全类似。2.三重积分的定义定

4、义2设三元函数是空间有界闭区域上的有界函数，将任意分割成个小闭区域，，…，，并用表示第个小区域的体积。现任取一点，作乘积（近似代替），并作和，记，如果当趋于零时和式的极限存在，则称此极限为函数在有界闭区域上的三重积分，记为，即，其中称为被积函数，称为被积表达式，称为体积元素，，及称为积分变量，称为积分区域，称为三重积分号，称为积分区域。与二重积分相类似，若函数在有界区域上连续，则在上的三重积分必存在，即在上可积。如果于上，表示物体在点的体密度，是该物体所占有的空间闭区域，则在上的三重积分就为该物体的质

5、量，即。一、重积分的性质性质1如果函数，都在上可积，则对任意常数，，函数在上也可积，且有。这一性质称为重积分的线性性质。性质2如果函数在上可积，用曲线将分成两个闭区域，，则在和上仍可积，且有：。这一性质称为重积分的区域可加性。性质3如果函数在上可积，并且在上，则。性质4如果函数，都在上可积，且在上有：成立，则。性质5如果函数在区域上可积，则在上也可积，且有：。性质6如果，则有：。其中表示的面积。性质7如果函数在上连续，则在上至少存在一点，使。此性质称为二重积分中值定理，称为函数在区域上的函数平均值。性

6、质8如果函数在区域上连续可积，，为在区域上的最小值和最大值，则有。上述性质对三重积分仍然成立。例1估计二重积分的值，其中为圆形区域。解对任意均有，故，而，由性质8得。第二节二重积分的计算法一、直角坐标系下二重积分的计算法二重积分可表示成设积分区域可用不等式组，不妨设函数，则应表示以为底、以为顶的曲顶柱体的体积，如图所示：，从而曲顶柱体可视为平行截面为已知的空间体，由定积分可求得其体积为：。从而得积分等式：。若为型区域：，则。类似的，如果区域可以用不等式组，则。例1计算其中为：（a）由直线，及围成。（b

7、）由直线和抛物线围成。解（a）如图所示：，由公式得。如按型区域计算，则区域可表示为：，由公式得。（b）区域可表示为，由公式得。本题如按型区域计算麻烦。例2计算，其中为是由直线，及所围成的闭区域。解如图所示：区域既是型域，又是型域，若按型区域计算，由公式得。二、极坐标系下二重积分的计算法有些二重积分的积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量，表达比较简单。这时，可以考虑利用极坐标系来计算二重积分。假设积分区域满足这样的条件：从极点出发且穿过闭区域内部的射线与的边界至多有两个交

8、点。此时，用极坐标系下的坐标曲线来划分区域，即用过极点的一组射线（=常数）及另一组以为圆心的同心圆（=常数）来划分区域，那么除了包含区域的边界点的小闭区域外，其余小区域均为小曲边四边形，如图所示。考虑一个一般性的小闭区域，即，各自取微小增量，后所形成的小曲边四边形区域，如图阴影部分。在舍去高阶无穷小的情况下，可把它近似地看成一个小矩形域，矩形的两个边长分别为，。由此得到极坐标系下二重积分的面积元素为：。又由直角坐标与极坐标的关系可知，被积函数。由此，我们