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1、射影空间的故事1.什么是投影“投影”亦称“射影”,来源于物体在点光源或平行光源照射下投下的影子。假定一张透明胶片上有一个图形,那么它在光源照射下的影子是什么样的呢?例如在下面的图中,某个平面上有一个三角形ABC,在点光源S的照射下投影到平面P上,形成一个投影,它也是一个三角形。点光源另一个意义:将空间中的物体投影在画面上。例如:小孔成像,凸透镜成像,眼睛看物体等。照相与点光源照射的物理意义不同:不是发出光线,而是接收光线。但数学的理解是相同的,就是将物体上的任一点X与投影中心点(点光源或焦点)连结一条直线,与投影平面交于一点Y,则Y点就是X点在投影平面上的投影
2、。物体上所有点的投影合起来就组成整个物体的投影。对投影的研究有很长的历史,在古代的绘画中已对此做了研究。简言之,画风景画就是以人眼为中心,将风景中的物体投影在画板上。直观上,看东西“近大远小”,反映在绘画上,就可以用例如人物的大小来给出远近的感觉,就是“立体感”。对这方面的系统研究,后来在西方艺术中产生了“透视”的概念。这就是“画法几何”中透视图的基本原理。一个图形经过投影后变成什么样子,这是一个数学问题,术语叫做“射影变换”。很容易从实验看到:1.直线的投影仍是直线。2.(平面)二次曲线的投影仍是二次曲线。习题1:证明上述事实。但是:平行的直线经过投影后不一
3、定是平行线;反之,不平行的直线经过投影后可能成为平行线。圆在投影下的像可以是椭圆、抛物线或双曲线。一组相互平行的直线的投影可能是相交于同一点的一组直线,反之亦然。在风景照片上我们经常可以看到这样的现象(见下面的照片)。“平行线的投影可能交于一点”这个原理很有用,例如在上面的照片中,太阳被云遮住了,但有几道光线射出来,如果我们将两道光线延长,得到一个交点,这个交点就是太阳的位置。习题2:可能有人会问:太阳光线不是平行的吗?怎么能相交呢?请你回答这样的问题。下面的图说明圆在投影下的像是椭圆、抛物线或双曲线的情形。如果让点光源的位置连续变化，则圆的投影如右边这样变化
4、。地平线:如果地面很平,朝着地面上远方望去看到天地交界处是一条直线,这就是所谓地平线。由于地球是球体,实际上地平线是所能看到的最远地方。下图是一个夸张的说明。实际上,即使地面完全是平的,仍然可以看到地平线。它是天空和地面投影到视网膜上的图象的分界线,直观上可以理解为“地面上的无限远处”。站在地球表面看地平线在风景中经常可以看到地平线,不过多半是在水边(见下面的照片)。如果朝着地面上一条很长的直线的方向看去,会看到直线与地平线交于一点,称为“消失点”,一组相互平行的直线有相同的消失点(见下面的照片)。2.投影构形在平面几何中有一些只与“结合性”(即相交性)有关的
5、命题,如“过两点存在唯一直线”、“两平面或者平行或者交于一条直线”,等等。这些都是公理或简单的定理,但还有一些只与结合性有关的相当复杂的定理,例如:这两个定理看上去复杂,却是非常基本的,有时甚至作为公理。请注意这两个图都有很强的对称性:德萨格定理的图中有10个点,10条直线,每条直线上有3个点,过每个点有3条直线;帕普斯定理的图中有9个点,9条直线,每条直线上有3个点,过每个点有3条直线。象这样的复杂且只与结合性有关的定理很多,一般都有很对称的图,统称为“构形定理”。例如下面的图都是构形定理的图。对二次曲线也有类似的构形定理,如上面的几个定理绝非仅仅是一种游戏
6、(“有观赏价值”),恰恰相反,它们都是有关学科中重要的基本定理。这些定理的图有一个共同点,就是如果把它们投影到另一个平面上,仍然是同一个定理的图,所以常称为“投影构形”。但我们前面看到,原来相交的直线,在投影后可能变成相互平行的了，而原来相互平行的直线在投影后则可能变成相交的。此时构形定理的叙述需要改变。这些例外情形使定理的叙述甚为复杂,一方面要排除各种平行的情形以得到对一般情形的陈述,另一方面对每个特殊情形将陈述作适当修改仍能成立。人们发现,若(作为公理)对每条直线加上一个“无穷远点”,并规定相互平行的直线交于无穷远点,所有无穷远点组成一条“无穷远直线”,则
7、所有构形定理仍成立而没有了例外情形。直观地,这个“无穷远点”就是透视图上的消失点,而无穷远直线就是地平线。采用这种方法就不需要讨论上面那样的退化情形了。道理十分简单:如果出现有两条直线平行的情形,就通过投影(射影变换)将它变为没有两条直线平行的一般情形,这样就只需考虑这样的一般情形了。这当然有了很多方便,但更重要的是由此发现了一种重要的几何结构------射影空间。3.射影空间在寻常的直线上加上一个无穷远点,就扩充成了“射影直线”;在寻常的平面上加上所有无穷远点,就扩充成了“射影平面”,其中所有无穷远点组成无穷远直线。在数学上怎样刻画射影平面呢?4.射影空间的
8、结构如我们前面所说,射影空间是与寻常的
