高等几何讲义 第三章 射影变换____§1 一维射影变换.ppt

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1、abcdx第三章射影变换____§1一维射影变换1.透视对应一线束与一点列间的一一对应，若使束中每一直线过其对应点(等价地，使列中每一点在其对应直线上)，则称此对应为透视对应，简称透视．从线束到点列的透视称为截影．从点列到线束的透视称为投影．如右图，a，b，c，d，是以x为心的线束被以为底的点列截得的截影．而a，b，c，d，是投影．abcdx§1一维射影变换定理1点列与线束间的透视保持交比不变．()1()2()，()1()2()．从而()()()[1()2()](

2、)1()()2()()1()2()，即(c)1(a)2(b)．同理(d)1(a)2(b)．因此(ab;cd)21/12(;)．证明：如右图，在线束x中取、为基线，则§1一维射影变换同类一维基本形间的透视：a/d//xabcdb/c//x////x若两个线束是同一点列的投影，则称这两个线束是透视的．若两个点列是同一线束的截影，则称这两个点列是透视的．点列的底称为透视轴．线束的心称为透视中心．透视线束的等价定义是它们的对应直线交点共线．透视点列的等价定义是它们的对应点连线共点．如前

3、面三图中的透视分别记为：§1一维射影变换写在记号“”上方的文字表示透视中心或透视轴．记号：用“”表示透视．{,,,}{a,b,c,}，{a,b,c,}{a/,b/,c/,}，x{,,,}{/,/,/,}，a/d//xabcdb/c/§1一维射影变换定理2透视保持交比不变．证明：由定理1及对偶原理，只需证二点列情形．注意：{xa,xb,xc,}可简写为x{a,b,c,}．故(ab;cd)(xa,xb;xc,xd)(a/b/;c/d/)．若{a,b,c,d,}{a/,b/,c/,d/,}，则x{a,b,c,d,}x{a

4、,b,c,d,}{a/,b/,c/,d/,}，§1一维射影变换例1设abcd为平行四边形，过顶点a作直线ae与对角线bd平行．证明：直线ab、ad与直线ac、ae成调和共轭．aodcbpe故(ab,ad;ac,ae)(bd;op)．因平行四边形对角线互相平分，故(bd;op)1．所以(ab,ad;ac,ae)1．a{b,d,c,e}{b,d,o,p}，证明：因ae与bd平行，故设二者交点为无穷远点p．记(ac)(bd)o．则xyzabucdmn§1一维射影变换例2求证：完全四点形的一边上的二顶点，两条对角线与此边的

5、二交点，四点成调和共轭．(可作结论使用)故(uz;ab)(yz;mn)1．这表明在边ab上，a、b与u、z成调和共轭．证明：如图，由完全四点形的对角线上的调和共轭性质，有(yz;mn)1．又以点x为中心，有{u,z,a,b}{y,z,m,n}，§1一维射影变换2.一维基本形之间的射影对应一维基本形I与II之间的一一对应T:III，若保持交比不变，则称为射影对应．关于射影对应的表达式，有定理3两个一维基本形之间的射影对应是非退化的线性变换：证明：不妨设两个一维基本形I与II均为点列．在I上取定三点u、v、t，使其在II上的对应点依次为II的坐标系/[u/,v/;

6、t/]中的基点和单位点．a11a121a21a222/1/2T:，det(aij)0．(3.1)utvxu/v/t/x/III且设I上的动点x对应II上的点x/，则(u/v/;t/x/)(uv;tx)．设各点射影坐标分别为u(u1,u2)、v(v1,v2)、t(t1,t2)、x(1,2)、x/(/1,/2)，则得§1一维射影变换1011/21/101110/20/11t2u2t1u12v21v12u21u1t2v2t1v1§1一维射影变换v2t2t2u2t1u1t1v1令，则/2/1u

7、21u12v21v12，/2u21u12/1v21v12，从而若记a11v2，a12v1，a21u2，a22u1，则得所求射影变换式为反之，也可证明(3.1)必为射影对应．在(3.1)中令1/2，//1//2，aa21，ba11，ca22，da12，则可得a11a121a21a222/1/2T:，det(aij)0．推论1采用非齐次坐标，两个一维基本形之间