资源描述：
《对偶变换及射影变换分类》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第卷第期!!年∀月天津师大学报#自然科学版∃%&∋∋(&)∗+,−)!!∗./0(12.3451(∗5((.0612/(5%708549#(14/0128:57(:77;545.(∃对偶变换及射影变换分类张智广,天津#天津师范大学数学系<===<∃摘要本文在射影变换的基础上,运用初等方法导出对偶变换,并给出射影变换的分类)关键词射影变换对偶变换分类分类号=>?对偶原理是射影几何中的一个重要原理,它既充分反映了射影几何的特性,又给出了,一个重要的几何方法是射影几何的主要内容之一对偶原理是一个定理,其严格证明超出了大纲要求,不属教学内容)对这部分内容,
2、现行教材的处理方法是≅只给结论,不给证明,通过验证,理解原理)这样的处理使对偶,,原理与射影几何的其他内容在思想方法与教学处理上都难以协调难以满足学生的学习要求,特别是不能满足部分学习较好学生进一步的探究)为了解决这一问题,本人的做法,,≅是在射影变换的基础上运用初等方法导出对偶变换将对偶变换作为射影变换的一种特殊情况来处理)多年来的教学实践说明,这种处理方法是可行的,易于被学生所接受)关于对偶变换式),在现行教材中关于对偶元素与对偶运算是这样给出的飞#∋∃对偶元素≅点与直线)#∃对偶运算≅“通过一点作一直线”与“在一直线上取一点”)我们可以把点、线两种元素的对偶
3、关系看作是一种对应,在同一射影平面上,我们只要找到一种变换表达式,使得二者建立起一种一一对应的关系,这种对应#变换∃即可称为对偶变换)如果我们能够找到这样的对应,使得共线点的底的象#点∃是各点对应元素#直线∃,“的交点的话那么这个对应就满足了上面所述的对偶运算”≅为此我们首先给出一个定义,,,,ΑΒΧΒ<“““<定义设射影平面上任意点#齐次坐标∃为#Β∃及直线∋ΔΕ,若满)≅,收稿日期!Φ刁刁Γ修改稿收到日期≅!Φ一一=天津师大学报#自然科学版∃!!年∀月≅足变换Η/一2ΙΙ/∋6ϑΛ凡Κ#1∃(Β∃6(2Η护=,则称变换式#1∃中的点Α与直线Χ为
4、射影平面上的对偶元素称变换#1∃为平面上的对偶变换)至于上述变换#1∃满足“对偶运算”,将在下列定理中附带证明),≅关于对偶变换与射影变换的关系本文给出以下定理定理对偶变换#1∃是射影平面上点与直线间的异素射影变换)证2==)‘))#∋∃’≅Μ.6(.护.#1∃式是一一对应==,#∃我们证明在表达式#1∃中任三共线点对应的对偶直线必交于一点且原象#点∃所在直线与象#直线∃的交点是对偶元素),,,,,,,,‘,Β,Β‘,Β,Β,Β<Β,Β,Β,设平面上任三个相异点Α,#ΒΜ梦Ν∃,#了罗纷∃,#份罗犷∃三点共线,则有#∋∃#∃#<∃<###<ΙΙ,/⋯Ο一于是
5、二,∋∃6梦(ΒΝ二,(二,6罗罗二,(二,⋯Ο⋯6了犷,由对偶变换式∋(上式即了)∃%,夕、‘苦了飞亩))#(#(‘内、心#、!∀鸟」,,#∗+&上伪一,%、&&∀,#!∀(∀(∀(∀(∀(&∀∗∀&∀∗,−&,&+&,#∗∗∀∗,、%,∀,,,!!∀,,,,&、,&内.凡即三线共点%,,,,,,(由,,/,,/,/‘,,∀/,/,/,0梦1(了罗罗(所连直线为≅第卷第期张智广对偶变换及射影变换分类Μ∃Π∃Π∃几‘∃‘∃‘∃一。Μ几几ΝΜΒ∋Β≅天<ΚΚ,,Χ,)ΒΒΒ<Α,Α≅其中Η#∃为连线上任意点的坐标展开得‘内ς且)<#∃)Ρ
6、−行ΔΤ−Ρ∋#∋#∋#,)#∋玩Θ−Ρ#∃−Ρ几(份ΘΙΙΥΙ#∃Β一−ΡΣΣ八/∗,,∃、二二住<−#<双#∃#∃ΒΒ<Β∋生6Ω555∋∃Τ,≅3Η#Ξ、Η#∃Η#ΘΗ#∃‘’,,ΩΩ一而卜份+““<∋】二Τ//‘∗25∗丽万22交点的线坐标方程为一」,)且5#∋∃Η∋几一6一6Η∋一(+,,Η∋一(一Η∋2Η一2气‘,∋ΚΗΝ//+Χ丽+∋Σ+ΧΣ+<一.#∃)Χ#∃Η一几(#<几一2#∋几一2八一6#∃+<万其中Δ+,,+Χ,“<Ε为过,)∋与交点的任一直线的线坐标,对比方程#∋∃和方程#∃的系数方程#5∃的系数中二∋∃与方程#“∃系数中对Ο
7、应位置上的行列式元素满足对偶变换式#1∃Ν二尸与方程#∃系数行列式元素亦如此),由此证明了两点连线的线坐标与两条对应直线交点的点坐标满足对偶变换式#1∃即二者为对偶元素)因此,我们得到共线点的连线,在对偶变换下的象为对偶直线的交点)#Γ∃最后,我们证明在对偶变换#,)1∃下点的交比等于对偶直线的交比Ψ,,Ψ,,设共线四点1#∃Ζ#[∃∴#Σ几∋[∃;#ΨΣ又Χ[∃则交比为又,·、,≅,一又义#又一又∃笋.几,,,,,Ψ]Ψ,ΨΧΨ<[]#[,[Χ[<其中#∃∃,由变换式#1∃有Η∋一2‘泪卫人Η∋几一6一6+,Η∋一(/“Ψ/一乙气一罗一Ω)++,[一。[]一乡
