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1、§4.5二次点列上的射影变换一、二次点列上的射影对应S(P)(P)S'(P')'(P')S(P)S'(P')(P)'(P')二、二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合与一维射影对应的桥梁交比、调和比、Steiner作图法、透视轴……射影轴、不变元素、分类、与Pascal定理的关系……对合轴、对合中心、几何条件、与配极变换的关系……§4.5二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合例2.(P.135,Ex.4)证明.二阶曲线上对合的几何条件与点列上对合的形式完全相同,照抄P.77,§2.5,例2.14.例3.(P.135,Ex.5)证明
2、.如图,过P0另作的弦P1Q1,设AP1,AQ1分别交'于P1',Q1'.由定理4.24,在上(P,P1,…)(Q,Q1,…)为对合(以P0为对合中心).于是,在A为束心的线束中,A(P,P1,…)A(Q,Q1,…)为对合.从而,在'上,对应(P',P1',…)(Q',Q1',…)为对合.由上述对合可知,其对应点的连线P'Q',P1'Q1'必定共点于对合中心.§4.5二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合例4(P.135,Ex.7)如图,设A,B为不在非退化二阶曲线上的两个定点,PP',P'P''分别为通过A,B的两条动弦.
3、求证：(P)↔(P')与(P')↔(P'')都是上的对合.问(P)↔(P'')是否为上的对合？证明以定点A为对合中心,(P)↔(P')为对合.以定点B为对合中心,(P')↔(P'')为对合.(P)↔(P'')不一定成为对合.除非PP''能够经过定点.§4.5二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合例5(P.135,Ex.8)如图,设PP'为过不在非退化二阶曲线上一定点的动弦,又A,B为上的两个定点,且Q=APBP',R=BPAP'.求证：Q,R在另一条二阶曲线上.证明由PP'过定点得(P)↔(P')为对
4、合.于是A(P,P'…)↔B(P',P…)为射影线束.而Q,R,…为此二射影线束的对应直线的交点,所以在另外一条二阶曲线上.注：由此想到：上两定点与其上同一个动点连线,得到两个射影线束.上两定点分别与其上射影变换的对应点连线,得到两个射影线束.§4.6二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系定义4.21对于任意的二阶曲线,若交无穷远直线于两个相异的实点重合的实点共轭的虚点,则称为双曲型的抛物型的.椭圆型的若非退化,则称为双曲线抛物线.椭圆双曲线抛物线椭圆§4.6二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系设其中xi为齐
5、次仿射坐标,则x1,x2地位平等而x3特殊.与l∞的交点为解出x1:x2即得交点(x1,x2,0).于是,对于x1:x2,有两个相异的实根重合的实根共轭的虚根为双曲型的抛物型的.椭圆型的定理4.25对于二阶曲线:S=0,A33的符号为仿射不变的.由于l∞：x3=0为仿射不变的,因此二阶曲线与l∞的相交情况也是仿射不变的,所以有下列定理§4.6二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系二、二阶曲线的中心本节以下总设所论二阶曲线非退化.定义4.22l关于的极点C称为的中心.1.定义2.性质(1).通常点C为的中心C为的对称
6、中心(即C为过C的弦的中点).证明设p为过C的直线,交于A,B,交l于P.据中心的定义,C为中心(AB,CP)=–1C为AB的中点.从而仿射定义解几定义(AB,CP)=–1(2).双曲线,椭圆的中心为有穷远点；抛物线的中心为无穷远点.双曲线椭圆有心二阶曲线无心二阶曲线抛物线§4.6二次曲线的仿射理论二、二阶曲线的中心1.定义2.性质3.中心坐标因为中心C为l的极点,设C(c1,c2,c3).则中心方程组为于是,中心坐标为：有心二阶曲线：(A31,A32,A33).无心二阶曲线：(A31,A32,0).即(a12,–a11,0)
7、或(a22,–a12,0).§4.6二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径1.定义(1).直径仿射定义解几定义无穷远点P的有穷远极线(过中心的通常直线).一组平行弦中点的轨迹.(XY,ZP)=–1(2).共轭直径直径AB的共轭直径为AB上无穷远点P的极线EF(相互通过对方极点的两直径).直径AB的共轭直径为平行于AB的弦的中点轨迹EF.(XY,ZP)=–1仿射定义解几定义(3).共轭方向：与一对共轭直径平行的方向.l不是任何二阶曲线的直径！§4.6二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径1.定义2.性质(1).有心二阶曲线(i)的任一
8、对共轭直径与l一起,构成的一个自极三点形.(ii)的每一直径平分与其共轭直径平行的弦,且平行于共轭直径与交点处的两切线.(2).抛物线(i)的直径相互平
