角的平分线的性质（提高）知识讲解.doc

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1、2.52角的平分线的性质（提高）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3.熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定　角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分

2、线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.　　（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到

3、三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质及判定1、已知：如图，在中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AE＝AF．【答案与解析】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）（垂直定义）在和中∴≌（HL）∴【总结升华】先由角平分线的性质得出DE＝DF，再证≌，即可得出AE＝AF.分析已知，寻找条件，顺次证明．举一反三：【变式】如图

4、，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：BE＝CF.【答案】证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°在Rt△BDE与Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴BE＝CF2、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为：（）A.11B.5.5C.7D.3.5【答案】B；【解析】解：过D点作DH⊥AC于H，∵AD是△A

5、BC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC∴DF＝DH在Rt△EDF和Rt△GDH中DE＝DG，DF＝DH∴Rt△EDF≌Rt△GDH同理可证Rt△ADF和Rt△ADH∴∴＝50－39＝11，∴△EDF的面积为5.5【总结升华】本题求△EDF的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知△ADG和△AED的面积来表示△EDF面积.3、如图，AC=DB，△PAC与△PBD的面积相等．求证：OP平分∠AOB．【思路点拨】观察已知条件中提到的三角形△PAC与△PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高

6、线相等，联系到角平分线判定定理可得.【答案与解析】证明：作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，，且∴又∵AC＝BD∴PM＝PN又∵PM⊥OA，PN⊥OB∴OP平分∠AOB【总结升华】跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.类型二、角的平分线的性质综合应用4、如图，P为△ABC的外角平分线上任一点.求证：PB＋PC≥AB＋AC.【思路点拨】在BA的延长线上取AD＝AC，证△PAD≌△PAC，从而将四条线段转化到同一个△PBD中，利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：①当点P与点A不重合时，

7、在BA延长线上取一点D，使AD＝AC，连接PD.∵P为△ABC的外角平分线上一点，∴∠1＝∠2∵在△PAD和△PAC中∴△PAD≌△PAC（SAS），∴PD＝PC∵在△PBD中，PB＋PD＞BD，BD＝AB＋AD∴PB＋PC＞AB＋AC.②当点P与点A重合时，PB＋PC＝AB＋AC.综上，PB＋PC≥AB＋AC.【总结升华】利用角平分线的对称性，在角两边取相同的线段，通过（SAS）构造全等三角形，从而把分散的线段集中到同一个三角形中.举一反三：【变式】如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交

8、DC、AB于C、B两点.求证：AD＝AB＋DC.【答案】证明：在线段AD上取AF＝AB，连接EF，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠1＝∠2，∵AF＝AB AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠B＝∠AFE，由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°，∴∠AFE＋∠C＝180°，又∵∠DFE＋∠AFE＝180°，∴∠C＝∠