251角的平分线的性质(基础)知识讲解

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1、2・51角的平分线的性质（基础）【学习目标】1.掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质.2.掌握角平分线的判定及角平分线的画法.3.熟练运用角的平分线的性质解决问题.【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分ZADB,点P是CD上一点，且PE丄AD于点E,PF丄BD于点F,则PE=PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分

2、线的判定：若PE丄AD于点E,PF丄BD于点F,PE=PF,则PD平分ZADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图0B（1）以0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于D,交0B于E.（2）分别以I）、E为圆心，大于丄DE的长为半径画弧，两弧在ZAOB内部交于点C.2（3）画射线0C.射线0C即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点•这点叫做三角形的旁心•三角形冇三个旁心

3、.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：AABC的内心为片，旁心为PjPyPq，这四个点到AABC三边所在直线距离相等.P4【典型例题】类型一、角的平分线的性质C1.如图，ZACB=90°,BD平分ZABC交AC于D,DE1AB于E,ED的延长线交BC的延长线于F.求证:AE=CF.【思路点拨】利用角平分线的性质可得DE二DC,为证明三角形全等提供了条件.【答案与解析】证明：TBD平分ZABC,DE丄AB,DC丄BF・・・DE=DC（角的平分线上的点到角两边的距离相等）在ZADE和ZFDC中Z

4、DEA=ZDCF

5、的线段代换是关键.举一反三：【变式】已知：如图，AD是ZABC的角平分线，=:V2,则ZABD与AACD的面积之比为（）A.3：2B.V3：a/2C.2：3D.血：希【答案】B；提示：VAD是ZABC的角平分线，.••点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又•:AB；AC二羽:迈,则AABD与ZXACD的面积之比为巧：JL荻、如图，OC是如的角平分线，P是。C上-点，PD丄。A交于点D,PE丄。B交于点E,F是。C上除点P、0外一点，连接DF、EF,则DF与EF的关系如何？证明你的结论.【思路点拨】利用角平分

6、线的性质证明PD=PE,再根据“HL”定理证明厶OPD^AOPE,从而得到ZOPD=ZOPE,ZDPF=ZEPF.再证明△DPF^AEPF,得到结论.【答案与解析】解：DF=EF.理由如下：•••0C是ZA0B的角平分线，P是0C上一点，PD丄0A交于点D,PE丄0B交于点E,・・・PD=PE,由I1L定理易证厶OPD^AOPE,・・・ZOPD=ZOPE,・・・ZDPF=ZEPF.在AOPF与AEPF中，PD=PE<乙DPF=ZEPF,PF=PF■AADPF^AEPF,・・・DF=EF.【总结升华】此题综合运用了角

7、平分线的性质、全等三角形的判定及性质.由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定▼4、已知，如图，CE丄AB,BD丄AC,ZB=ZC,BF=CF.求证：AF为ZBAC的平分线.【答案与解析】证明：TCE丄AB,BD1AC（已知）・・・ZCDF=ZBEF=9（T•・•ZDFC=ZBFE（对顶角相等）•・•BF=CF（已知）AADFC^AEFB（AAS）・・・DF=EF（全等三角形对应边相等）TFEdAB,FD丄AC（己知）・••点F在ZBAC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点在

8、这个角的平分线上）即AF为ZBAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】如图，在AABC中，D是BC的中点，DE1AB,DF1AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证：AD是AABC的角平分线.【答案】证明：TDE丄AB,DF丄AC,ARtABDE和Rt