角的平分线(基础)知识讲解.doc

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1、角的平分线（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3.熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的逆定理　角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平

2、分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.　　（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、轨迹把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，定长为半径的圆.【典型例题】类型一、角的平分线的性质【高清课堂：角平分线的性质，例2】1．如图，∠ACB＝90°

3、,BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F.求证：AE＝CF【答案与解析】证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB,DC⊥BF　　　∴DE＝DC（角的平分线上的点到角两边的距离相等）　　　在△ADE和△FDC中　　　　　　　　∴△ADE≌△FDC(ASA)　　　　∴AE＝CF【总结升华】利用角平分线的性质可得DE＝DC，为证明三角形全等提供了条件.2、如图,△ABC中,∠C＝90°,AC＝BC,AD平分∠CAB,交BC于D,DE⊥AB于E,且AB＝6,则△DEB的周长为()A.4B.6C.10D.以上都不对【答案】B；【解析】由角平分线的性质，D

4、C＝DE，△DEB的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB＝6.【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且，则△ABD与△ACD的面积之比为（　）A．3：2B．C．2：3D.【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵，则△ABD与△ACD的面积之比为．3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【答案与

5、解析】：解：DF=EF．理由如下：∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，∴PD=PE，由HL定理易证△OPD≌△OPE，∴∠OPD=∠OPE，∴∠DPF=∠EPF．在△DPF与△EPF中，，∴△DPF≌△EPF，∴DF=EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定【高清课堂：角平分线的性质，例3】4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.【答案与解析】证明：∵CE⊥AB,BD

6、⊥AC（已知）　　　∴∠CDF＝∠BEF＝90°　　　∵∠DFC＝∠BFE(对顶角相等)　　　∵BF＝CF(已知)　　　∴△DFC≌△EFB(AAS)　　　∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)　　　∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）　　　∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)　　　　即AF为∠BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△

7、ABC的角平分线.【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．类型三、点的轨迹5、过已知点A且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是________.【答案】以A为圆心，半径为的圆．【解析】求圆心的轨迹实际上是求距A点三厘米能画一个什么图形．【总结升华】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．