高中数学导数及其应用4.2导数的运算4.2.1几个幂函数的导数4.2.2一些初等函数的导数表分层训练湘教版选修2.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4．2.1几个幂函数的导数4．2.2一些初等函数的导数表一、基础达标1．下列结论中正确的个数为()112xx①y＝ln2，则y′＝；②y＝2，则y′

2、x＝3＝－；③y＝2，则y′＝2ln2；2x271④y＝log2x，则y′＝.xln2A．0B．1C．2D．3答案D解析①y＝ln2为常数，所以y′＝0.①错．②③④正确．12．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为x()111A.，2B.，2或－，－222211C.－，－2D.，－222答案B111解析y′＝′＝－2＝

3、－4，x＝±，故选B.xx2a3．已知f(x)＝x，若f′(－1)＝－4，则a的值等于()A．4B．－4C．5D．－5答案Aa－1a－1解析f′(x)＝ax，f′(－1)＝a(－1)＝－4，a＝4.34．函数f(x)＝x的斜率等于1的切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定答案B22333解析∵f′(x)＝3x，设切点为(x0，y0)，则3x0＝1，得x0＝±，即在点，和3391⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯33点－，－处有斜率为1的切线．3995．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．x

4、答案x＋y－6＝09解析∵y′＝－2，∴y′

5、x＝3＝－1，x∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0.6．若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.答案64解析∴曲线在点处的切线斜率，∴切线方程为．令x＝0得；令y＝0得x＝3a.∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为1S＝·3a·＝18，∴a＝64.27．求下列函数的导数：731x2x(1)y＝x；(2)y＝4；(3)y＝－2sin1－2cos；x242(4)y＝log2x－log2x.3解(1)y′＝73′＝＝.x747x1－4－4－1－54(2

6、)y′＝4′＝(x)′＝－4x＝－4x＝－5.xxx2x(3)∵y＝－2sin1－2cos242⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x2xxx＝2sin2cos－1＝2sincos＝sinx，2422∴y′＝(sinx)′＝cosx.2(4)∵y＝log2x－log2x＝log2x，1∴y′＝(log2x)′＝.x·ln2二、能力提升x8．已知直线y＝kx是曲线y＝e的切线，则实数k的值为()11A.B．－C．－eD．eee答案Dy0＝kx0，xx0解析y′＝e，设切点为(x0，y0)，则y0＝e，x0k＝e.x0x

7、0∴e＝e·x0，∴x0＝1，∴k＝e.π9．曲线y＝lnx在x＝a处的切线倾斜角为，则a＝______.4答案111解析y′＝，∴y′

8、x＝a＝＝1，∴a＝1.xax10．点P是曲线y＝e上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为________．2答案2x解析根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′

9、x＝x0＝1.xx∵y′＝(e)′＝e，x∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝e，得y0＝1，即P(0,1)．利用2点到直线的距离公式得距离为.211．已知f(x)＝c

10、osx，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．解∵f(x)＝cosx，g(x)＝x，∴f′(x)＝(cosx)′＝－sinx，g′(x)＝x′＝1，由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0，即sinx≥1，但sinx∈[－1,1]，3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯π∴sinx＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z.2212．已知抛物线y＝x，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．2解根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x的切线，对应的切点到直线x2－y－2＝0的距离最

11、短，设切点坐标为(x0，x0)，则y′

12、x＝x＝2x0＝1，0111所以x0＝，所以切点坐标为，，224切点到直线x－y－2＝0的距离11－－22472d＝＝，2872所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.8三、探究与创新13．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，⋯，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2014(x)．解f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(