高二数学教案：圆锥曲线定义、标准方程及性质.pdf

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1、圆锥曲线定义、标准方程及性质一．椭圆定义Ⅰ：若F1，F2是两定点，P为动点，且PF1PF22aF1F2（a为常数）则P点的轨迹是椭圆。定义Ⅱ：若F1为定点，l为定直线，动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0

2、义。）注意：（1）图中线段的几何特征：，A1F1A2F2acA1F2A2F1ac22B1F1B1F2B2F2B2F1a，A2B2A1B2ab等等。顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与a,b,c有关。（2）PF1F2中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．将有关线段PF1、PF2、2c，有关角F1PF2结合起来，建立PF1+PF2、PF1?PF2等关系xacos（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：；ybsin（4）注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在y轴上时，其相应的性质。第1页共1

3、8页二、双曲线（一）定义：Ⅰ若F1，F2是两定点，PF1PF22aF1F2（a为常数），则动点P的轨迹是双曲线。Ⅱ若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e（e>1），则动点P的轨迹是双曲线。（二）图形：（三）性质2222xyyx方程：1(a0,b0)1(a0,b0)2222abab取值范围：{xxa或xa}；实轴长=2a，虚轴长=2b焦距：2c2a准线方程：xc22aa焦半径：PF1e(x)，PF2e(x)，PF1PF22a；cc注意：（1）图中线段的几何特征：AF1BF2ca，AF2BF1ac2222aaaa顶

4、点到准线的距离：a或a；焦点到准线的距离：c或ccccc第2页共18页22a两准线间的距离=c2222xyxyb（2）若双曲线方程为221渐近线方程：220yxababa22bxyxy若渐近线方程为yx0双曲线可设为22aabab2222xyxy若双曲线与1有公共渐近线，可设为2222abab（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）（3）特别地当ab时离心率e2两渐近线互相垂直，分别为y=x，22此时双曲线为等轴双曲线，可设为xy；（4）注意PF1F2中结合定义PF1PF22a与余弦定理cosF1PF2，将有关线段PF

5、1、PF2、F1F2和角结合起来。（5）完成当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质。三、抛物线（一）定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。（二）图形：第3页共18页2（三）性质：方程：y2px,(p0),p焦参数；p焦点：(,0)，通径AB2p；2p准线：x；2ppp焦半径：CFx,过焦点弦长CDx1x2x1x2p222p注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=p；通径长=2p2顶点是焦点向准线所作垂线段中点。22y2（2）

6、抛物线y2px上的动点可设为P(,y)或P(2pt,2pt)或P2p2(x,y)其中y2px考点一求圆锥曲线方程求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.●典例探究［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其

7、中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14m，CC′=18m,BB′=22m,塔高20m.第4页共18页建立坐标系并写出该双曲线方程.命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程。错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键。技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程。解：如图，建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上，

8、AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴.22xy1设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0),则a=AA′=722ab2又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上，所以有222211y19y21,122227b7b由题意，知y2－y1=20,由以上三式得：y1=－12,y2=8,b=7222xy故双曲线方程为=1.4998