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1、第五章 系统的稳定性第一节系统稳定性的初步概念(一)系统不稳定现象的发生(1)阀芯右移→2,4口开,1,3口闭→Ps入左缸→活塞右移(2)外力=0→阀芯停→活塞惯性右移→Ps入左缸→活塞右移(3)阀体右移→1,3口开,2,4口闭→Ps入右缸→活塞左移(4)阀体左移→2,4口开,1,3口闭→活塞右移→振荡由上例可知：(1)线性系统不稳定现象发生与否,取决于系统内部条件，而与输入无关。(2)系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。(3)控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性,也就是说,是
2、讨论输入为零,系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性。(二)稳定的定义和条件1.稳定的定义:设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它在瞬间受到某一扰动而偏离了原有的平衡状态。当此扰动撤消后，系统借助于自身的调节作用，如能使偏差不断的减小，最后仍能回到原来的平衡状态，则称此系统是稳定的，反之，则称为不稳定。如图5.1.2所示。图5.1.2稳定与不稳定系统的响应曲线稳定性是系统的一种固有特性，它与输入信号无关只取决其本身的结构和参数。2、稳定的充要条件:系统的全部特征根都具有负实部。即系统传递函数的全
3、部极点均位于[s]平面的左半平面，系统则稳定。若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部,则系统必不稳定。第二节Routh(劳斯)稳定判据(一)系统稳定的必要条件设系统特征方程为:系统稳定的必要条件:ai>0且ai≠0(i=0,1,…,n)例1：(1)(2)(3)一项为负，不稳定。满足必要条件，可能稳定。ai>0且ai≠0(i=0,1,…,n)缺项，不稳定。(二)系统稳定的充要条件1.Routh表2、Routh稳定判据（1）若劳斯表中第一列的系数均为正值,则系统稳定。（2）如果表中第一列的系数有正
4、、负符号变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。例2、系统的特征方程为:D(s)=s4+s3–19s2+11s+30=0s41–1930s31110s2[1×(-19)–1×11]/1=–30300s1[(–30)×11–1×30]/(–30)=1200s03000由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。例3：Routh表S4282S3230S20S100S0200注意:在展开的Routh表中，可用一个正
5、整数去除或乘某一整个行而不改变稳定性结论。例4S41820S35160S2200S100S02000第一列符号改变两次，说明有两个根在右半平面，系统不稳定。例5已知系统的特征方程为求系统稳定的K值范围欲使系统稳定则应满足解不等式组得：二阶、三阶系统的Routh稳定判据:(1)二阶系统(n=2)稳定的充要条件为:ai>0且ai≠0(3)三阶系统(n=3)稳定的充要条件为:ai>0,a1a2>a0a3且ai≠0s2a2a0s3a3a10s1a10s2a2a00s0a00s1A1=[a1a2-a0a3
6、]/a200s0a000D(s)=a3s3+a2s2+a1s+a0=0D(s)=a2s2+a1s+a0=0(三)Routh判据的特殊情况排劳斯表时，有两种可能出现的特殊情况：1）劳斯表中某一行的第一项等于零，而该行的其余各项不全为零。解决的办法是以一个很小的正数ε来代替为零的这项。然后完成劳斯表的排列。如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示方程中有一对共轭虚根存在；如果第一列系数中有符号变化，其变化的次数等于该方程在S平面右半面上根的数目。结论：特殊情况（1）Routh表第一列出现零
7、元素例6S5121S4241S301/20S210S11/200S0100系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面。例7已知系统的特征方程为试判别相应系统的稳定性解：列劳斯表方程中有对虚根，系统不稳定。，2）、如果当Routh表的任意一行中的所有元均为零时，可利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用这个多项式方程导数的系数组成Routh表的下一行。这种情况，则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这些根可以通过求解这个辅助方程式得到。特殊情况（2）Routh表中
8、某一行全为零例8S61694S51540S41540S3S22.5400S13.6000S04000000041000辅助方程某一行全为零，说明在虚轴有共轭虚根。令F(s)=s4+5s2+4=0，求得两对大小相等、符号相反的根：±j2、±j1；显然这个系统处于临界稳定状态。例9S6182016S5212160S4212160S3S23800S11/3000S08000000041200辅助方程某一行全为零，说明在虚轴有共轭虚根。令F(s)=s4+6s2+8=0，求得两对大小相等、符号相反的根：，
